Математический анализ I. Фомин В.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Точка
0
x
∈
R
, для которой выполняются оба условия (13.4) и (13.5), называется
двусторонней предельной точкой мно-
жества
Ω
.
Рассмотрим функцию
( )
y f x
=
,
( )
x D f
∈
. Пусть
0
– левосторонняя предельная точка множества
( )
D f
.
Определение 13.7. Точка
A
называется
левосторонним пределом функции
( )
f x
в точке
0
, если для
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
− −
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
& &
. (13.6)
Обозначение:
0
( 0)
f x
−
. По определению,
0
0
0
( 0) lim ( )
x x
f x f x
→ −
− =
(запись
0
0
x x
→ −
означает, что
x
стремится к
0
слева, т.е.
x
стремится к
0
, оставаясь меньше
0
).
Пусть
0
– правосторонняя предельная точка множества
( )
D f
.
Определение 13.8. Точка
A
называется
правосторонним пределом функции
( )
f x
в точке
0
, если для
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
+ +
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
& &
. (13.7)
Обозначение:
0
( 0)
f x
+
. По определению,
0
0
0
( 0) lim ( )
x x
f x f x
→ +
+ =
(запись
0
0
x x
→ +
означает, что
x
стремится к
0
справа, т.е.
x
стремится к
0
, оставаясь больше
0
).
Определение 13.9. Левосторонний и правосторонний пределы функции в данной точке называются
односторонними
пределами функции в
этой
точке
.
Замечание 13.1.
Если в качестве
0
выступает число 0, то вместо записей
0 0
(0 0) lim ( )
x
f f x
→ −
− =
,
0 0
(0 0) lim ( )
x
f f x
→ +
+ =
можно использовать более короткие записи:
0
( 0) lim ( )
x
f f x
→−
− =
,
0
( 0) lim ( )
x
f f x
→+
+ =
.
Пусть
0
– двусторонняя предельная точка множества
( )
D f
. Тогда можно говорить как об односторонних пределах
функции
( )
f x
в точке
0
, так и о пределе функции
( )
f x
в точке
0
в обычном смысле (чтобы отличать
0
lim ( )
x x
f x
→
от одно-
сторонних пределов, его называют двусторонним пределом функции
( )
f x
в точке
0
).
Установим связь между существованием предела функции в данной точке и существованием её односторонних преде-
лов в этой точке.
Теорема 13.1.
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
⇔
(*)
⇔
0 0 0 0
êî í å÷í û å ( 0), ( 0) è ( 0) ( 0)
f x f x f x f x A
∃ − + − = + =
, (13.8)
(**)
Необходимость: (*)
⇒
(**). Пусть выполняется условие (*). Это означает по определению предела, что для
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩
⇒
∈
&
,
следовательно, в силу включений (13.1), (13.2) для
(
)
0
( ) ( ) ( )
x D f O x f x O A
−
δ ε
∀ ∈ ∩
⇒
∈
&
и для
0
( ) ( )
x D f O x
+
δ
∀ ∈ ∩ ⇒
&
(
)
( )
f x O A
ε
⇒ ∈
. Получили:
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
− −
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
& &
,
а это означает по определению, что
0
( 0)
f x A
∃ − =
. Имеем также:
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
+ +
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
& &
,
а это означает по определению, что
0
( 0)
f x A
∃ + =
.
Достаточность: (**)
⇒
(*). Пусть выполняются условия (**). Возьмём произвольное
0
ε >
. В силу условия
0
( 0)
f x A
− =
получаем: для
(
)
(
)
1 1
0 1 1 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
− −
ε δ δ ε
∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
& &
.
В силу условия
0
( 0)
f x A
+ =
имеем: для
конечные
и

Страницы