Математический анализ I. Фомин В.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

[ ]
( )
0 0
( )
lim ( ) ( ) lim ( ) 1 1
( )
x x x x
g x
f x g x f x
f x
→ →
∞
− = ∞ − ∞ = − = ∞⋅ −
∞
.
Докажем
теорему о пределе сложной функции
.
Теорема 12.4. Пусть для сложной функции
(
)
( )
y f x
= ϕ
выполняются следующие условия:
0
*
lim ( )
x x
→
∃ ϕ =
, (12.16)
1 1
0 * 0
( ) | ( ) , ( )
O x x u x O x
δ δ
∃ ϕ ≠ ∀ ∈
&
, (12.17)
*
lim ( )
u u
f u A
→
∃ =
. (12.18)
Тогда
(
)
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ ϕ =
. (12.19)
Зафиксируем произвольное
0
ε >
. В силу (12.18) для
( )
O A
ε
∀
2 2
* 2 2 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )
O u u D f O u f u O A
δ δ ε
∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
. (12.20)
В силу (12.16) для
2
*
( )
O u
δ
∀
3 3 2
0 3 3 2 0 *
( ), ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )
O x x D O x x O u
δ δ δ
∃ δ = δ δ ∀ ∈ ϕ ∩ ⇒ ϕ ∈
&
. (12.21)
Заметим, что
3 3
( )
δ = δ ε
, ибо
2 2
( )
δ = δ ε
. Положим
{
}
3 1
min ,
δ = δ δ
(
( )
δ = δ ε
, ибо
3 3
( )
δ = δ ε
). Тогда в силу (12.17),
(12.21)
0
( ) ( )
x D O x
δ
∀ ∈ ϕ ∩
&
выполняется
2
*
( ) ( )
x O u
δ
ϕ ∈
&
, следовательно, в силу (12.20)
(
)
( ) ( )
f x O A
ε
ϕ ∈
. Получили:
( )
O A
ε
∀
0
( ), ( ) |
O x
δ
∃ δ = δ ε
(
)
0
( ) ( ) ( ) ( )
x D O x f x O A
δ ε
∀ ∈ ϕ ∩ ⇒ ϕ ∈
&
, а это означает по определению предела, что выполняется (12.19).
Геометрическая иллюстрация к доказательству теоремы 12.4 представлена на рис. 12.1:
Рис. 12.1
В силу теоремы 12.4 при вычислении пределов сложных функций можно использовать замену переменных.
Пример 12.6. Найти
1
limcos( 1)
x
x
→
−
.
Решение
.
1 0
*
1
1
limcos( 1) lim cos 1
lim( 1) 0
x u
x
u x
A x u
u x
→ →
→
= −
= − = = =
= − =
,
ибо
0
lim cos 1
x
x
→
=
(см. (11.14)).
Ранее было доказано (см. (7.35)), что
1
lim 1
n
n
e
n
→∞
+ =
. (12.22)
Оказывается (см. [9, с. 285]), что при замене в (12.22) переменной n
∈
N
на переменную x
∈
R
значение предела не из-
менится, т.е.
1
lim 1
x
x
e
x
→+∞
+ =
, (12.23)
1
lim 1
x
x
e
x
→−∞
+ =
. (12.24)

Страницы