Математический анализ I. Фомин В.И. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ибо в силу теоремы 11.10
1/ ( )
g x
– б.м.в. в точке
0
x
, а в силу теоремы 11.2 функция
( )
f x
ограничена в некоторой окрестно-
сти точки
0
x
, следовательно, в силу теоремы 11.8
[
]
f x g x f x g x
= ⋅
– б.м.в. в точке
0
x
.
В примерах 12.1, 12.2 нам удалось, зная пределы делимого и делителя, найти предел частного. Иначе обстоит дело, ко-
гда, например, пределы делимого и делителя равны нулю.
Пример 12.3. Пусть
( ) 1
f x x
= −
,
( ) 5 5
g x x
= −
. Заметим, что
1 1
lim ( ) lim( 1) 0
x x
f x x
→ →
= − =
. Используя (12.13), получаем:
[
]
1 1 1 1
lim ( ) lim(5 5) lim 5( 1) 5lim( 1) 5 0 0
x x x x
g x x x x
→ → → →
= − = − = − = ⋅ =
.
Тогда
1 1 1 1
( ) 1 0 1 1 1
lim lim lim lim
( ) 5 5 0 5( 1) 5 5
x x x x
f x x x
g x x x
→ → → →
− −
= = = = =
− −
(
1
x
→
, но
1 1 0
x x
≠
⇒
− ≠
и на
1
x
−
можно сократить).
Получили:
[ ]
1
1
lim ( ) / ( )
5
x
f x g x
→
=
.
Пример 12.4. Пусть
( ) 1
f x x
= −
,
( )
2
( ) 1
g x x
= −
. Тогда
( )
2
1 1 1
( ) 1 0 1 1
lim lim lim
( ) 0 1 0
1
x x x
f x x
g x x
x
→ → →
−
= = = = = ∞
−
−
.
Получили:
[
]
1
lim ( ) / ( )
x
f x g x
→
= ∞
.
Пример 12.5.
( )
2
( ) 1
f x x= −
,
( ) 1
g x x
= −
. Тогда
( )
( )
2
1 1 1
1
( ) 0
lim lim lim 1 0
( ) 1 0
x x x
x
f x
x
g x x
→ → →
−
= = = − =
−
.
Получили:
[
]
1
lim ( ) / ( ) 0
x
f x g x
→
=
.
Из примеров 12.3 – 12.5 видно: зная, что пределы делимого и делителя равны нулю, нельзя в общем случае сделать вы-
вод о том, чему равен предел частного. В связи с этим вводят понятие неопределённости.
Определение 12.1. Говорят, что частное
( ) / ( )
f x g x
представляет собой при
0
x x
→
(или в точке
0
x
)
неопределённость
типа
0
0
, если
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
=
и
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
.
Аналогичная картина наблюдается, когда при нахождении пределов мы приходим к условным записям вида
∞
∞
,
0
⋅∞
,
∞ − ∞
. В этих случаях тоже нельзя заранее сказать, чему будет равен предел соответствующего выражения; для нахождения
такого предела нужно учесть конкретный вид функций
( )
f x
и
( )
g x
и характер их поведения при
0
x x
→
, или, как принято
говорить, раскрыть неопределённость.
Итак, при вычислении пределов функций, получаемых в результате арифметических операций над другими функциями,
могут возникать неопределённости четырёх типов:
0
0
,
∞
∞
,
0
⋅∞
,
∞ − ∞
. (12.15)
Неопределённость типа
0
⋅∞
сводится с помощью теорем 11.10, 11.11 к неопределённости типа
0
0
или
∞
∞
:
[ ]
( )
0 0
( ) 0
lim ( ) ( ) 0 lim
1/ ( ) 0
x x x x
f x
f x g x
g x
→ →
= ⋅∞ = =
,
[ ]
( )
0 0
( )
lim ( ) ( ) 0 lim
1/ ( )
x x x x
g x
f x g x
f x
→ →
∞
= ⋅∞ = =
∞
.
Неопределённости типа
∞ − ∞
сводятся к неопределённости типа
∞
∞
и, возможно в дальнейшем, к неопределённости
типа
0
⋅∞
:

Страницы