Математический анализ I. Фомин В.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

имеем для
*
0
( ) ( )
x D v O x
δ
∀ ∈ ∩
&
:
1 1 1 2
( ) ( )
2
B
v x v x B
= < =
, т.е.
1 2
( )
v x B
<
,
а это означает ограниченность функции
1
v x
на множестве
*
0
( ) ( )
D v O x
δ
∩
&
.
Докажем
основную теорему о пределах функций
, согласно которой в результате арифметических операций над функ-
циями, имеющими конечный предел в данной точке, получаются функции, которые тоже имеют конечный предел в этой
точке.
Теорема 12.2. Пусть функции
( )
u x
и
( )
v x
имеют конечные пределы в точке
0
x
:
0
lim ( )
x x
u x A
→
∃ =
; (12.4)
0
lim ( )
x x
v x B
→
∃ =
. (12.5)
Тогда их сумма, разность, произведение и частное, т.е. функции
( ) ( )
u x v x
+
,
( ) ( )
u x v x
−
,
( ) ( )
u x v x
,
( )
( )
u x
v x
тоже имеют конечные
пределы в точке
0
x
и
[
]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
u x v x u x v x
→ → →
+ = +
; (12.6)
[
]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
u x v x u x v x
→ → →
− = −
; (12.7)
[
]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
u x v x u x v x
→ → →
= ⋅
; (12.8)
0
0
0
lim ( )
( )
lim
( ) lim ( )
x x
x x
x x
u x
u x
v x v x
→
→
→
=
; (12.9)
при этом в случае частного предполагается, что
0
lim ( ) 0
x x
v x
→
≠
.
Из (12.4), (12.5) получаем в силу теоремы 12.1:
( ) ( )
u x A x
= + α
, где
( )
x
α
– б.м.в. при
0
x x
→
; (12.10)
( ) ( )
v x B x
= + β
, где
( )
x
β
– б.м.в. при
0
x x
→
. (12.11)
Тогда
(
)
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x A B x x
+ = + + α +β
. Положим
( ) ( ) ( )
x x x
γ = α + β
. В силу теоремы 11.6
( )
x
γ
– б.м.в. при
0
x x
→
. Полу-
чили:
(
)
( ) ( ) ( )
u x v x A B x
+ = + + γ
, где
( )
x
γ
– б.м.в. при
0
x x
→
. Следовательно, в силу теоремы 12.1
[
]
0
lim ( ) ( )
x x
u x v x A B
→
∃ + = +
, т.е. в силу (12.4), (12.5) справедлива формула (12.6).
В силу (12.10), (12.11)
(
)
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x A B x x
− = − + α −β
. Положим
( ) ( ) ( )
x x x
µ = α −β
. В силу следствия 11.5
( )
x
µ
–
б.м.в. при
0
x x
→
. Получили:
(
)
( ) ( ) ( )
u x v x A B x
− = − + µ
, где
( )
x
µ
– б.м.в. при
0
x x
→
. Следовательно, в силу теоремы 12.1
[
]
0
lim ( ) ( )
x x
u x v x A B
→
∃ − = −
, т.е. в силу (12.4), (12.5) справедлива формула (12.7).
В силу (12.10), (12.11)
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x AB A x B x x x
= + β + α + α β
. Положим
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x A x B x x x
ν = β + α + α β
. В силу
следствия 11.6
( ) ( )
x x
α β
– б.м.в. при
0
x x
→
. Тогда в силу следствия 11.5
( )
x
ν
– б.м.в. при
0
x x
→
Получили:
( ) ( ) ( )
u x v x AB x
= + ν
, где
( )
x
ν
– б.м.в. при
0
x x
→
. Следовательно, в силу теоремы 12.1
[
]
0
lim ( ) ( )
x x
u x v x AB
→
∃ =
, т.е. в силу
(12.4), (12.5) справедлива формула (12.8).
В силу условия
0
lim ( ) 0
x x
v x
→
≠
и леммы 12.1
*
0
( ) |
O x
δ
∃
функция
1
v x
определена и ограничена на множестве
*
0
( ) ( )
D v O x
δ
∩
&
, следовательно, функция
( )
( )
u x
v x
определена на множестве
*
0
( ) ( ) ( )
F D u D v O x
δ
= ∩ ∩
&
. Используя (12.10),
(12.11), получаем при
x F
∀ ∈
:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
u x A A x A B x A x A
x x
v x B B x B B B x v x B
+ α α − β
− = − = = α − β
+ β + β
. (12.12)

Страницы