Математический анализ I. Фомин В.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 11.9. Произведение любого конечного числа бесконечно малых величин в данной точке есть бесконечно ма-
лая величина в этой точке.
Теорема 11.9 доказывается методом математической индукции (см. доказательство теоремы 6.2).
Бесконечно малые и бесконечно большие величины связаны между собой следующим образом.
Теорема 11.10. Если
( )
f x
– б.б.в. при
0
x x
→
, то
1/ ( )
f x
– б.м.в. при
0
x x
→
.
Выберем произвольное сколь угодно малое
0
ε >
. По условию
( )
f x
– б.б.в. при
0
x x
→
. Тогда в силу (10.10) для
числа
E
= ε
0
1
( ) ( ) 0 | ( ) : 0 ( )
E x D f x x f x E
∃δ = δ = δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒ >
ε
, следовательно,
1/ ( ) 1/ ( ) 1/ 1/(1/ )f x f x E
= < = ε = ε
. Получили:
0
∀ε >
0
( ) 0 | ( ) :0 1/ ( )x D f x x f x
∃δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒ < ε
, а это означает
в силу (11.17), что
1/ ( )
f x
– б.м.в. при
0
x x
→
.
Теорема 11.11. Если
( )
x
α
– б.м.в. при
0
x x
→
и
( ) 0
x
α ≠
в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, то
1/ ( )
x
α
– б.б.в. при
0
x x
→
.
Выберем произвольное сколь угодно большое
0
E
>
. По условию
( )
x
α
– б.м.в. при
0
x x
→
. Тогда в силу (11.17) для
числа
1/
E
ε =
0
( ), ( ) (1/ ) ( ) 0 |
O x E E
δ
∃ δ = δ ε = δ = δ >
0
( ) ( )
x D O x
δ
∀ ∈ α ∩ ⇒
&
( )x
⇒ α < ε
, следовательно, для
*
0 0
( ) ( ) ( )
x D O x O x
δ δ
∀ ∈ α ∩ ∩ ⇒
& &
(
)
1/ ( ) 1/ ( ) 1/ 1/ 1/
x x E E
α = α > ε = =
. Положим
{
}
*
min ,
δ = δ δ
%
. Заметим, что
( )
E
δ = δ
% %
, ибо
( )
E
δ = δ
. Получили:
0 ( ) 0 |
E E
∀ > ∃δ = δ >
% %
0
( ) ( )
x D O x
δ
∀ ∈ α ∩ ⇒
%
&
1/ ( )
x E
α >
, а это означает в силу (10.10), что
1/ ( )
x
α
–
б.б.в. при
0
x x
→
.
Например, в силу теоремы 11.11 функция
(
)
( ) 1/ 3 3
f x x
= −
есть б.б.в. при
1
x
→
, ибо функция
( ) 3 3
x x
α = −
есть б.м.в.
при
1
x
→
(см. пример 11.1). Таким образом, в силу замечания 10.5 допустима запись
1
1
lim
3 3
x
x
→
= ∞
−
. (11.20)
Особо подчеркнём, что запись (11.20) носит условный характер, ибо она означает лишь тот факт, что
1
1
lim
3 3
x
x
→
= +∞
−
.
Более детальный анализ поведения функции
( )
f x
показывает, что
1 0
1
lim
3 3
x
x
→ −
= −∞
−
,
1 0
1
lim
3 3
x
x
→ +
= +∞
−
. (11.21)
Естественно, что в (11.21) содержится больше информации, нежели в (11.20).
Л е к ц и я 12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О
ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Свойства бесконечно больших величин
;
первый признак существования конечного предела функции в точке
;
лемма о
существовании и ограниченности функции вида
1/ ( )
v x
;
основная теорема о пределах функций
;
неопределённые выражения
;
предел сложной функции
;
второй замечательный предел
.
Укажем некоторые свойства бесконечно больших величин (б.б.в.), полезные при нахождении пределов.
1
○
. Произведение двух б.б.в. в данной точке есть б.б.в. в этой точке.
Действительно, пусть
( )
f x
и
( )
g x
– б.б.в. в точке
0
x
. Тогда по теореме 11.10
1/ ( )
f x
и
1/ ( )
g x
– б.м.в. в точке
0
x
. По
следствию 11.6
[
]
[
]
[
]
1/ ( ) 1/ ( ) 1/ ( ) ( )
f x g x f x g x
⋅ =
– б.м.в. в точке
0
x
. По теореме 11.11
[
]
1/ 1/ ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
=
– б.б.в. в
точке
0
x
.
2
○
. Произведение любого числа б.б.в. в данной точке есть б.б.в. в этой точке.
Свойство 2
○
доказывается методом математической индукции, при этом используется свойство 1
○
.
3
○
. Произведение б.б.в. в данной точке и функции, модуль которой ограничен снизу положительным числом в некото-
рой проколотой окрестности этой точки, есть б.б.в. в данной точке.
Действительно, пусть
( )
f x
– б.б.в. в точке
0
x
и функция
( )
g x
такова, что
( )
g x m
≥
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, где
const, 0
m m
= >
. Пусть
0
E
>
. Тогда в силу (10.10) для числа
/
E m
1 1 1
( / ) ( ) 0 |
E m E
∃δ = δ = δ >
(
)
0 1
( ) : 0 ( ) /
x D f x x f x E m
∀ ∈ < − < δ ⇒ >
. Положим
{
}
1 *
min ,
δ = δ δ
. Заметим, что
( )
E
δ = δ
, ибо
1 1
( )
E
δ = δ
. Тогда для
( ) ( ) :
x D f D g
∀ ∈ ∩
(
)
0
0 ( ) /
x x f x E m
< − < δ ⇒ >
и
( )
g x m
≥
, следовательно,
( ) ( ) ( ) ( )
E
f x g x f x g x m E
m
= ⋅ > ⋅ =
. Итак,
для
>0 ( ) 0 |
E E
∀ ∃δ = δ >
0
( ) ( ) : 0 ( ) ( )
x D f D g x x f x g x E
∀ ∈ ∩ < − < δ ⇒ >
, а это означает, по определению, что
( ) ( )
f x g x
–
б.б.в. в точке
0
x
.

Страницы