Математический анализ I. Фомин В.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) 3 1
x x
α = −
и для выполнения неравенства
( )x
α < ε
, т.е. неравенства
3 1x
− < ε
или равносильного ему неравенства
1
3
x
ε
− <
достаточно взять
3
δ =
.
Теорема 11.6. Сумма двух бесконечно малых величин в данной точке есть бесконечно малая величина в этой точке.
Пусть
( )
x
α
и
( )
x
β
– бесконечно малые величины в точке
0
x
. Покажем, что их сумма
( ) ( )
x x
α + β
тоже бесконечно
малая величина в точке
0
x
. Зафиксируем произвольное
0
ε >
. В силу (11.17) для числа
ε
1 1 1 0 1
( ) 0 | ( ) : 0 ( )
2 2
x D x x x
ε ε
∃δ = δ = δ ε > ∀ ∈ α < − < δ ⇒ α <
. Аналогично, в силу того, что
0
lim ( ) 0
x x
x
→
β =
, для числа
ε
2 2 2 0 2
( ) 0 | ( ) : 0 ( )
2 2
x D x x x
ε ε
∃δ = δ = δ ε > ∀ ∈ β < − < δ ⇒ β <
. Положим
{
}
1 2
min ,
δ = δ δ
. Заметим, что
( )
δ = δ ε
, ибо
1 1
( )
δ = δ ε
,
2 2
( )
δ = δ ε
. Тогда
0
( ) ( ) | 0 ( )
2
x D D x x x
∀ ∈ α ∩ β < − < δ ⇒ α <
и
( )
2
x
β <
, следовательно,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x x x x
ε ε
α +β ≤ α + β < + = ε
. Итак,
0
>0 ( ) 0 | ( ) ( ) : 0 ( ) ( )x D D x x x x
∀ε ∃δ = δ ε > ∀ ∈ α ∩ β < − < δ ⇒ α + β < ε
, а это оз-
начает по определению предела, что
[
]
0
lim ( ) ( ) 0
x x
x x
→
α + β =
, т.е.
( ) ( )
x x
α + β
– бесконечно малая величина в точке
0
x
.
Теорема 11.7. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин в данной точке есть бесконечно малая вели-
чина в этой точке.
Теорема 11.7 доказывается методом математической индукции (см. доказательство теоремы 6.2).
Теорема 11.8. Произведение бесконечно малой величины в данной точке и функции, ограниченной в некоторой проко-
лотой окрестности этой точки, есть бесконечно малая величина в данной точке.
Пусть
( )
x
α
– бесконечно малая величина (б.м.в.) в точке
0
x
, т.е. выполняется (11.16);
( )
g x
– функция, ограниченная
в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, т.е.
, 0,
C C
∃ ∈ >
R
такое что
( )
g x C
≤
,
*
0
( ) ( )
x D g O x
δ
∀ ∈ ∩
&
.
Зафиксируем произвольное
0
ε >
.
В силу (11.17) для числа
C
ε
1 1 1 0 1
( ) 0 | ( ) : 0 ( )x D x x x
C C
ε ε
∃δ = δ = δ ε > ∀ ∈ α < − < δ ⇒ α <
. Положим
{
}
1 *
min ,
δ = δ δ
. Заметим, что
( )
δ = δ ε
, ибо
1 1
( )
δ = δ ε
. Тогда
0
( ) ( ) : 0 ( )x D D g x x x
C
ε
∀ ∈ α ∩ < − < δ ⇒ α <
и
( )
g x C
≤
, следовательно,
( ) ( ) ( ) ( )x g x x g x C
C
ε
α = α ⋅ < ⋅ = ε
. Итак, для
0
>0 ( ) 0 | ( ) ( ) : 0 ( ) ( )x D D g x x x g x
∀ε ∃δ = δ ε > ∀ ∈ α ∩ < − < δ ⇒ α < ε
, а это оз-
начает в силу (11.17), что
( ) ( )
x g x
α
– б.м.в. в точке
0
x
.
Следствие 11.4.
Если
( )
x
α
– б.м.в. в точке
0
x
, то для
c
∀ ∈
R
функция
( )
c x
α
есть б.м.в. в точке
0
x
.
Действительно,
( )
c x
α
представляет собой произведение б.м.в.
( )
x
α
в точке
0
x
и функции
( )
g x c
≡
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, огра-
ниченной в
*
0
( )
O x
δ
&
, ибо
( ) const
g x c= =
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
. Следовательно, по теореме 11.8
( )
c x
α
– б.м.в. в точке
0
x
.
Следствие 11.5.
Если
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
x x x
α α α
– б.м.в. в точке
0
x
, то для
1 2
, ,...,
s
∀λ λ λ ∈
R
функция
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
s s
x x x
λ α + λ α + + λ α
(11.19)
есть б.м.в. в точке
0
x
.
Следствие 11.5 вытекает из следствия 11.4 и теоремы 11.7.
Выражение (11.19) называется линейной комбинацией функций
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
x x x
α α α
с коэффициентами
1 2
, ,...,
s
λ λ λ
.
Поэтому следствие 11.5 можно сформулировать в виде: линейная комбинация любого конечного числа бесконечно малых
величин в данной точке есть бесконечно малая величина в этой точке.
Следствие 11.6.
Произведение двух бесконечно малых величин в данной точке есть бесконечно малая величина в этой
точке.
Действительно, пусть
( )
x
α
и
( )
x
β
– бесконечно малые величины в точке
0
x
. По условию,
0
lim ( ) 0
x x
x
→
β =
. Следователь-
но, в силу теоремы 11.2 функция
( )
x
β
ограничена в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
. Тогда
( ) ( )
x x
α β
можно рассматривать как произве-
дение б.м.в.
( )
x
α
в точке
0
x
и функции
( )
x
β
, ограниченной в
*
0
( )
O x
δ
&
. Следовательно, по теореме 11.8
( ) ( )
x x
α β
– б.м.в. в
точке
0
x
.

Страницы