Математический анализ I. Фомин В.И. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 11.3.
Если функция
( )
f x
, определённая в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, имеет в точке
0
x
конечный предел и
( )
c f x d
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, где
, , const, const
c d c d∈ = =R ,
то
0
lim ( )
x x
c f x d
→
≤ ≤
.
Теорема 11.4.
Пусть
функции
( )
f x
,
( )
h x
и
( )
g x
определены
в
некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
и
( ) ( ) ( )
f x h x g x
≤ ≤
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
. (11.8)
Тогда
,
если
функции
( )
f x
и
( )
g x
имеют
в
точке
0
x
одинаковый
предел
,
равный
A
,
то
функция
( )
h x
тоже
имеет
предел
в
точке
0
x
,
равный
А
.
По
условию
теоремы
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
; (11.9)
0
lim ( )
x x
g x A
→
=
. (11.10)
Зафиксируем
произвольное
0
ε >
.
В
силу
(11.9)
для
( )
O A
ε
1
0
( )
O x
δ
∃
,
(
)
1
1 1 0
( ) | ( ) ( )
x O x f x O A
δ ε
δ = δ ε ∀ ∈ ⇒ ∈
&
.
В
силу
(11.10)
для
( )
O A
ε
2
0
( )
O x
δ
∃
,
2 2
( ) |
δ = δ ε
(
)
2
0
( ) ( )
x O x g x O A
δ ε
∀ ∈ ⇒ ∈
&
.
Положим
{
}
1 2
min ,
δ = δ δ
(
заметим
,
что
( )
δ = δ ε
,
ибо
1 1
( )
δ = δ ε
,
2 2
( )
δ = δ ε
).
Тогда
для
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
(
)
( )
f x O A
ε
∈
и
(
)
( )
g x O A
ε
∈
,
следовательно
,
в
силу
условия
(11.8)
(
)
( )
h x O A
ε
∈
.
Получили
:
для
( )
O A
ε
∀
0
( )
O x
δ
∃
,
(
)
0
( ) | ( ) ( )
x O x h x O A
δ ε
δ = δ ε ∀ ∈ ⇒ ∈
&
,
а
это
означает
,
по
определению
преде
-
ла
,
что
0
lim ( )
x x
h x A
→
∃ =
.
Теорема
11.4
называется
теоремой о пределе промежуточной функции.
Теорема 11.5.
Функция
sin
( )
x
h x
x
=
имеет
в
точке
0
0
x
=
конечный
предел
,
равный
единице
:
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
. (11.11)
Покажем
,
что
sin
cos 1
x
x
x
< <
,
2
(0)
x O
π
∀ ∈
&
. (11.12)
Установим
вначале
справедливость
неравенств
(11.12)
на
интервале
0,
2
π
.
Пусть
0,
2
x
π
∈
.
Рассмотрим
дугу
0
x
P P
единичной
тригонометрической
окружности
,
соответствующую
центральному
углу
,
радианная
мера
которого
равна
x
(
рис
.
11.3).
Рис. 11.3
Из
рис
. 11.3
видно
,
что
MOPPOPPOP
SSS
xx 000
с.кр. ∆∆
<<
. (11.13)
Имеем
:
0
0
1 1 1
1 sin sin
2 2 2
x
OP P x
S OP P K x x
∆
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
,

Страницы