Математический анализ I. Фомин В.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, в силу условия (11.3) речь идёт об одной функции
( ) ( ) ( )
f x x x
= ϕ = ψ
в
0
( )
O x
δ
&
, а в силу теоремы 11.1
предел этой функции единственен.
Переход от (11.3) к (11.4) называется предельным переходом в равенстве.
Укажем
необходимый признак существования конечного предела функции в точке
.
Теорема 11.2. Функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Пусть
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
. Возьмём какое-либо конкретное число
0
. Тогда в силу (10.6)
0
( )
O x
δ
∃
0
| ( ) ( )
x D f O x
δ
∀ ∈ ∩ ⇒
&
(
)
( )
f x O A
ε
⇒ ∈
, т.е.
( )A f x A
− ε < < + ε
, а это и означает ограниченность функции
( )
f x
в
0
( )
O x
δ
в
случае, когда
0
( )
x D f
∈
. Если
0
( )
x D f
∈
, то функция
( )
f x
тоже ограничена в
0
( )
O x
δ
, ибо
( )
m f x M
≤ ≤
,
0
( ) ( )
x D f O x
δ
∀ ∈ ∩
, где
{
}
0
min , ( )
m A f x
= − ε
,
{
}
0
max , ( )
M A f x
= + ε
.
Свойство функции, доказанное в теореме 11.2, называется
локальной ограниченностью функции
, имеющей конечный
предел (ибо из ограниченности функции в некоторой окрестности отдельной точки вовсе не следует её ограниченность на дру-
гих участках изменения аргумента).
Для функций имеет место предельный переход в неравенстве.
Теорема 11.3. Пусть функции
( )
f x
и
( )
g x
, определённые в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, имеют в точке
0
x
конечные пределы и
( ) ( )
f x g x
≤
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
. (11.5)
Тогда
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
→ →
≤
. (11.6)
Пусть
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
,
0
lim ( )
x x
g x B
→
=
. Нужно доказать, что
A B
≤
. :
A B
>
. Выберем
0
таким образом, чтобы
( ) ( )
O A O B
ε ε
∩ = ∅
. Положим, например,
3
A B
−
ε =
(рис. 11.2).
Рис. 11.2
По определению предела, для
( )
O A
ε
1
0
( )
O x
δ
∃
,
(
)
1
1 1 0
( ) | ( ) ( )
x O x f x O A
δ ε
δ = δ ε ∀ ∈ ⇒ ∈
&
; для
( )
O B
ε
2
0
( )
O x
δ
∃
,
2 2
( ) |
δ = δ ε
(
)
2
0
( ) ( )
x O x g x O B
δ ε
∀ ∈ ⇒ ∈
&
. Положим
{
}
1 2
min ,
δ = δ δ
. Тогда для
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
(
)
( )
f x O A
ε
∈
и
(
)
( )
g x O B
ε
∈
( ) ( )
f x g x
⇒ >
, ибо
B A
+ ε < − ε
. Получили:
( ) ( )
f x g x
>
для
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, что противоречит условию (11.5).
.
Переход от (11.5) к (11.6) называется предельным переходом в неравенстве.
Замечание 11.1.
Если в условии (11.5) имеет место строгое неравенство, т.е.
( ) ( )
f x g x
<
для
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, то в (11.6)
строгое неравенство не обязательно.
Например, пусть
( )
2
( ) 1
f x x= −
,
( )
2
( ) 2 1
g x x= −
. Тогда
( ) ( )
f x g x
<
для
*
(1)
x O
δ
∀ ∈
&
, но
1 1
lim ( ) lim ( ) 0
x x
f x g x
→ →
= =
(в чём
можно убедиться, построив графики функций
( )
f x
и
( )
g x
).
Замечание 11.2.
Если
( ) const
f x c= =
в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, то
0
lim ( )
x x
f x c
→
=
, т.е.
0
lim
x x
c c
→
=
. (11.7)
Действительно, для
0
∀ε >
в качестве
δ
можно взять любое положительное число, удовлетворяющее условию
*
δ ≤ δ
.
Тогда
0
: 0x x x
∀ < − < δ
⇒
( ) 0 0f x c c c
− = − = = < ε
. А это означает, по определению предела, что
0
lim ( )
x x
f x c
→
=
.
Следствие 11.1.
Если функция
( )
f x
, определённая в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, имеет в точке
0
x
конечный предел и
( )
f x c
≤
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, где
, const
c c
∈ =
R
, то
0
lim ( )
x x
f x c
→
≤
.
Следствие 11.1 вытекает из теоремы 11.3 (в качестве
( )
g x
выступает функция
( )
g x c
=
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, для которой
0
lim ( )
x x
g x c
→
=
в силу замечания 11.2).
Следствие 11.2.
Если функция
( )
f x
, определённая в некоторой
*
0
( )
O x
δ
&
, имеет в точке
0
x
конечный предел и
( )
f x c
≥
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
, где
, const
c c
∈ =
R
, то
0
lim ( )
x x
f x c
→
≥
.
О
ε
(
А
)
О
ε
(
B
)

Страницы