Математический анализ I. Фомин В.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 10.9
Более детальный анализ поведения функции
( )
f x
показывает, что
0 0
1
lim
x
x
→ −
= −∞
,
0 0
1
lim
x
x
→ +
= +∞
. (10.13)
Естественно, что в (10.13) содержится больше информации, нежели в (10.11) (рис. 10.9).
Замечание 10.8.
Если функция
( )
f x
– б.б.в. при
0
x x
→
, то
( )
f x
есть неограниченная функция в любой сколь угодно
малой
δ
– окрестности точки
0
.
Замечание 10.8 вытекает из (10.10).
Л е к ц и я 11. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
Теорема о единственности предела
;
предельный переход в равенстве
;
необходимый признак существования конечного
предела функции в точке
;
предельный переход в неравенстве
;
теорема о пределе промежуточной функции
;
первый замеча-
тельный предел
;
бесконечно малые величины
,
их свойства
;
связь между бесконечно большими и бесконечно малыми вели-
чинами
.
Рассмотрим основные свойства пределов функций.
Теорема 11.1. Функция не может иметь в точке двух различных пределов.
:
0
( ), |
f x x
∃ ∃
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
; (11.1)
0
lim ( )
x x
f x B
→
=
(11.2)
и
A B
≠
. Пусть для определённости,
A B
<
0
B A
⇒ − >
.
Выберем
0
ε >
таким, чтобы
( ) ( )
O A O B
ε ε
∩ = ∅
. Положим, например,
( ) / 3
B Aε = −
(рис. 11.1).
Рис. 11.1
Из (11.1) следует в силу (10.6): для взятой
( )
O A
ε
1
0
( )
O x
δ
∃
,
(
)
1
1 1 0
( ) | ( ) ( ) ( )
x D f O x f x O A
δ ε
δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
. Аналогич-
но, из (11.2) следует, что для взятой
( )
O B
ε
2
0
( )
O x
δ
∃
,
2 2
( ) |
δ = δ ε
(
)
2
0
( ) ( ) ( )
x D f O x f x O B
δ ε
∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
. Положим
{
}
1 2
min ,
δ = δ δ
. Тогда для
( ) ( )
x D f O x
∀ ∈ ∩
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
⇒
(
)
(
)
( )f x O A O B
ε ε
∈ ∩ = ∅
. Противоречие. .
Рассмотрим две функции
( )
y x
= ϕ
,
( )
y x
= ψ
. Пусть
0
– предельная точка множества
( ) ( )
D D
ϕ ∩ ψ
, существует
0
lim ( )
x x
x
→
ψ
и в некоторой
0
( )
O x
δ
&
выполняется условие
( ) ( )
x x
ϕ = ψ
,
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
. (11.3)
Тогда
0
lim ( )
x x
→
∃ ϕ
и
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
x x
→ →
ϕ = ψ
. (11.4)

Страницы