Математический анализ I. Фомин В.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 10.1.
Если
0
x
– предельная точка множества
Ω
, то в любой сколь угодно малой
δ
– окрестности этой точки
найдётся бесконечное число точек, отличных от точки
0
x
, принадлежащих множеству
Ω
(рис. 10.7).
Рис. 10.7
Из примера 10.1 видно, что у множества
Ω
могут быть предельные точки, принадлежащие ему, и предельные точки, не
принадлежащие ему.
Рассмотрим функцию
( )
y f x
=
,
( )
x D f
∈
. Пусть
0
x
– предельная точка множества
( )
.
Определение 10.11. Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
в точке
0
x
(или при
x
, стремящемся к
0
x
), если
для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
найдётся положительное число
δ
, определяемое в зависимости от
взятого числа
ε
, такое что для любого
( )
x D f
∈
, не равного
0
x
и отличного от
0
x
по модулю на величину, меньшую
δ
,
соответствующее значение функции
( )
f x
отличается от числа
A
по модулю на величину, меньшую взятого числа
ε
.
Обозначение:
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
. (10.4)
или
( )
f x A
→
при
0
x x
→
(или
0
( )
x x
f x A
→
→
).
Запись (10.4) означает, по определению, следующее:
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )x D f x x f x A
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε
. (10.5)
Условие
0
0 x x
< − < δ
означает, что
0
( )
x O x
δ
∈
&
; а условие
( )f x A
− < ε
означает, что
( ) ( )
f x O A
ε
∈
. Следовательно,
определение предела функции в точке можно сформулировать на геометрическом языке.
Определение 10.12. Точка
A
называется пределом функции
( )
f x
в точке
0
x
(или при
0
x x
→
), если
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
. (10.6)
Геометрическая иллюстрация (10.6) представлена на рис. 10.8.
Рис. 10.8
Пример 10.2. Предел функции
( ) 5 4
f x x
= +
при
1
x
→
равен 9 (заметим, что
( )D f
=
R
).
Действительно, зафиксируем произвольное сколь угодно малое положительное число
ε
. Чтобы показать, что
1
lim ( ) 9
x
f x
→
=
, нам нужно в силу (10.5) подобрать положительное число
( ) | :
x
δ = δ ε ∀
0 1 ( ) 9x f x
< − < δ
⇒
− < ε
. Имеем:
( ) 9 5 4 9 5( 1)
f x x x
− = + − = −
,
( ) 9 5 1
f x x
− = −
и для выполнения неравенства
( ) 9f x
− < ε
, т.е.
5 1x
− < ε
или равносиль-
ного ему неравенства
1
5
x
ε
− <
достаточно взять
5
ε
δ =
.
Замечание 10.2.
Если
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
и
0
A
>
, то
0
( ) |
O x
δ
∃
0
( ) ( ) ( ) 0
x D f O x f x
δ
∀ ∈ ∩ ⇒ >
&
.
Действительно, достаточно в (10.6) взять
/ 2
A
ε =
.
Замечание 10.3.
Если
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
и
0
A
<
, то
0
( ) |
O x
δ
∃
0
( ) ( ) ( ) 0
x D f O x f x
δ
∀ ∈ ∩ ⇒ <
&
.
Действительно, достаточно в (10.6) взять
/ 2
Aε =
.
В силу замечаний 10.2, 10.3 функция сохраняет знак своего предела в достаточно малой проколотой окрестности пре-
дельной точки.
Определение 10.13. Говорят, что функция
( )
y f x
=
при
0
x x
→
сходится к
+∞
(или имеет предел
+∞
), если
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )
E E x D f x x f x E
∀ > ∃δ = δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ >
. (10.7)
Обозначение:
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
.
Пример 10.3. Предел функции
2
1
( )f x
x
=
при
0
x
→
равен
+∞
(заметим, что
{
}
( ) \ 0
D f = R
).

Страницы