Математический анализ I. Фомин В.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

lim ( )
x
f x A
→+∞
=
. (10.1)
Итак, запись (10.1) означает, по определению, следующее:
0 ( ) 0 | ( )x f x A
∀ε > ∃∆ = ∆ ε > ∀ > ∆ ⇒ − < ε
. (10.2)
Геометрическая иллюстрация (10.2) представлена на рис. 10.3.
Рис. 10.3
Для характеристики поведения графика функции при его удалении в бесконечность в том или ином направлении ис-
пользуется понятие асимптоты.
Определение 10.3. Прямая
d
называется
асимптотой
графика функции
( )
y f x
=
, если при удалении графика в беско-
нечность расстояние
(
)
M d
ρ = ρ
от точек графика до прямой
d
стремится к нулю:
(
)
, 0
M d
ρ →
.
Заметим, что в (10.2) величина
( )
f x A
−
равна расстоянию от точки
(
)
, ( )
M x f x
до прямой
:
d y A
=
, т.е.
(
)
, ( )
M d f x A
ρ = −
. Следовательно, в силу (10.2)
(
)
, 0
M d
ρ →
при
x
→ +∞
. А это означает, по определению, что прямая
:
d y A
=
есть асимптота графика функции
( )
y f x
=
. Её называют
правосторонней горизонтальной асимптотой
графика
функции.
Вывод 10.1.
Если
lim ( )
x
f x A
→+∞
=
, то прямая
:
d y A
=
есть
правосто- ронняя горизонтальная асимптота
графика функции
( )
y f x
=
(рис. 10.4).
Рис. 10.4
Пусть функция
( )
y f x
=
задана на замкнутой полуоси
(
]
,
b
−∞
.
Определение 10.4. Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
при
x
→ −∞
, если
0 ( ) 0 | ( )x f x A
∀ε > ∃∆ = ∆ ε < ∀ < ∆ ⇒ − < ε
.
Обозначение:
lim ( )
x
f x A
→−∞
=
.
Вывод 10.2.
Если
lim ( )
x
f x A
→−∞
=
, то прямая
:
d y A
=
есть
левосторонняя горизонтальная асимптота
графика функции
( )
y f x
=
.
Вывод 10.3.
Если
lim ( )
x
f x A
→+∞
=
и
lim ( )
x
f x A
→−∞
=
, то прямая
:
d y A
=
есть
двусторонняя горизонтальная асимптота
графика функции
( )
y f x
=
(рис. 10.5).

Страницы