Математический анализ I. Фомин В.И. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В частности, любая сложная функция, каждое звено которой является основной элементарной функцией, есть элемен-
тарная функция. Например, сложные функции
3
sin
y x
=
,
2
tg
x
y e=
, рассмотренные выше, являются элементарными функ-
циями.
Другие примеры элементарных функций:
3
2
5log
y x x
= +
;
4
ln
x
y
x
−
=
;
(
)
10
cos arcsin
y x x x
= +
.
Составные функции не являются элементарными. Например, единичная функция Хевисайда
0, 0,
( )
1, 0
x
x
x
∀ <
η =
∀ ≥
не является элементарной.
Используется классификация элементарных функций [3, с. 50], представленная на рис. 10.2.
Рис. 10.2
Целая рациональная функция
::
=
функция вида
( )
n
y P x
=
, где
( )
n
P x
– многочлен степени
n
:
1
0 1 1
( ) ...
n n
n n n
P x a x a x a x a
−
−
= + + + +
;
0 1 1
, ,..., ,
n n
a a a a
−
∈
R
,
0
0
a
≠
. Числа
, 0
i
a i n
≤ ≤
, называются
коэффициентами много-
члена
( )
n
P x
.
Частные случаи целой рациональной функции:
линейная функция
y ax b
= +
;
,a b
∈
R
,
0
a
≠
;
квадратичная функция
2
y ax bx c
= + +
; , ,a b c
∈
R
,
0
a
≠
.
Дробно-рациональная функция
::
=
функция
вида
( ) / ( )
n m
y P x Q x
=
,
где
( )
n
P x
,
( )
m
Q x
многочлены
степени
n
и
m
со
-
ответственно
.
Частный
случай
дробно
-
рациональной
функции
:
дробно-линейная функция
ax b
y
cx d
+
=
+
, , , ,a b c d
∈
R
,
0
c
≠
.
Рациональная функция
::
=
целая
рациональная
функция
или
дробно
-
рациональная
функция
.
Иррациональная функция
::
=
функция
,
полученная
с
помощью
конечного
числа
суперпозиций
и
конечного
числа
арифметических
операций
над
степенными
функциями
,
не
являющаяся
рациональной
функцией
. (
пример
иррациональной
функции
:
3
5
2
x
y
x x
=
+
).
Алгебраическая функция
::
=
рациональная
функция
или
иррациональная
функция
.
Трансцендентная функция
::
=
любая
элементарная
функция
,
не
являющаяся
алгебраической
(
пример
трансцендентной
функции
:
3 2
5cos ln
y x x
= −
).
В
частности
,
к
трансцендентным
функциям
относятся
все
основные
элементарные
функции
,
кроме
степенной
функции
с
рациональными
показателями
.
В
математическом
анализе
основное
внимание
уделяется
изучению
свойств
элементарных
функций
,
ибо
элементарные
функции
имеют
важное
значение
при
решении
различных
задач
естествознания
.
Пусть
дана
некоторая
функция
( )
y f x
=
,
[
)
,x a
∈ +∞
.
Ставится
вопрос
о
поведении
этой
функции
при
x
→ +∞
.
Определение 10.2.
Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
при
x
→ +∞
,
если
для
любого
сколь
угодно
малого
положительного
числа
ε
найдётся
положительное
число
∆
,
определяемое
в
зависимости
от
взятого
числа
ε
,
такое
что
для
любого
x
> ∆
выполняется
неравенство
( )
f x A
− < ε
.
Обозначение
:
Элементарные функции
Алгебраические функции
Рациональные функции
Целые рациональные функции
Трансцендентные функции
Иррациональные функции
Дробно-рациональные функции
;

Страницы