Математический анализ I. Фомин В.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если аналитически заданная функция описывает конкретный физический процесс, то область определения этой функ-
ции может быть ýже её естественной области определения (в этом случае область изменения независимой переменной опре-
деляется её физической природой и условиями, при которых рассматривается данный процесс).
Аналитически заданные функции, которые часто используются в приложениях, табулированы, т.е. для них построены
таблицы значений.
Если функция задана таблично:
(
)
,
i i
x y
,
1
i n
≤ ≤
, то для нахождения её приближенных значений при значениях аргу-
мента, не входящих в таблицу, эту функцию можно приближённо заменить (интерполировать) аналитически заданной функ-
цией, например, заменить её кусочно-линейной функцией, график которой представляет собой ломаную, соединяющую точ-
ки
(
)
,
i i
x y
,
1
i n
≤ ≤
(такая замена называется
линейной интерполяцией
).
Предметом математического анализа является изучение свойств аналитически заданных функций, в частности, выясне-
ние наличия у функций таких свойств, как монотонность, ограниченность, чётность, нечётность, периодичность.
Понятия монотонной и строго монотонной функции даны выше. Выделим среди функций класс ограниченных функ-
ций.
Определение 9.6. Функция
( )
=
называется на множестве
( )
D f
Ω ⊆
:
•
ограниченной сверху
, если
| ( )
M f x M
∃ ∈ ≤R
,
x
∀ ∈ Ω
,
при этом число
M
называется
верхней границей
(
верхней гранью
) функции
( )
f x
на множестве
Ω
;
•
ограниченной снизу
, если
| ( )
m f x m
∃ ∈ ≥
R
,
x
∀ ∈ Ω
,
при этом число
m
называется
нижней границей
(
нижней гранью
) функции
( )
f x
на множестве
Ω
;
•
ограниченной
, если она ограничена сверху и снизу, т.е.
, | ( )
M m m f x M
∃ ∈ ≤ ≤R
,
x
∀ ∈ Ω
.
Из определения 9.6 видно, что ограниченность функции
( )
=
на множестве
Ω
означает ограниченность множества
(
)
{
}
| ( ),f y y f x x
Ω = ∈ = ∈Ω
R
.
В случае, когда функция
( )
=
ограничена сверху на всей области определения
( )
D f
, она называется
ограниченной
сверху
; когда функция ограничена снизу на
( )
D f
–
ограниченной снизу
; когда функция ограничена на
( )
D f
–
ограничен-
ной
.
В силу замечания 3.5 условие ограниченности функции
( )
=
на множестве
( )
D f
Ω ⊆
можно записать в виде:
, 0 : ( )
C C f x C
∃ ∈ > ≤
R
,
x
∀ ∈ Ω
.
Функция
( )
=
называется
неограниченной
на множестве
( )
D f
Ω ⊆
, если для
0 | ( )
C x f x C
∀ > ∃ ∈ Ω >
.
Определение 9.7. Функция
( )
=
называется
чётной
, если:
1) её область определения
( )
D f
симметрична относительно точки
O
, т.е. для
( ) ( )
x D f x D f
∀ ∈ ⇒ − ∈
;
2)
( ) ( )
f x f x
− =
,
( )
x D f
∀ ∈
.
Из определения 9.7 видно, что график чётной функции симметричен относительно оси
Oy
. Поэтому при построении
графика чётной функции достаточно построить её график для неотрицательных значений аргумента, а затем полученную
линию отобразить симметрично относительно оси ординат.
Определение 9.8. Функция
( )
=
называется
нечётной
, если:
1) её область определения
( )
D f
симметрична относительно точки
O
;
2)
( ) ( )
f x f x
− = −
,
( )
x D f
∀ ∈
.
Из определения 9.8. видно, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Поэтому при
построении графика нечётной функции достаточно построить её график для неотрицательных значений аргумента, а затем
полученную линию отобразить симметрично относительно начала координат.
Функцию, не обладающую свойством чётности или нечётности, называют
функцией общего вида
.
Определение 9.9. Функция
( )
=
называется
периодической
, если
, 0 |
T T
∃ ∈ >
R
выполняются следующие условия:
1)
( )
x D f
∀ ∈
, ( )
x T x T D f
⇒ − + ∈
;
2)
( ) ( ) ( )
f x T f x T f x
− = + =
,
( )
x D f
∀ ∈
,
при этом число
T
называется периодом функции.
Замечание 9.1.
Если
T
– период функции
( )
f x
, то для
n
∀ ∈
N
число
T nT
=
%
тоже является периодом функции
( )
f x
.
Наименьший из всех периодов функции называется её
основным периодом
. В дальнейшем под периодом функции по-
нимается её основной период.

Страницы