Математический анализ I. Фомин В.И. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для построения графика периодической функции
( )
y f x
=
с периодом
T
достаточно построить её график на каком-
либо участке длиной
T
, а затем произвести параллельный перенос полученной линии вдоль оси
Ox
на
T
±
,
2
T
±
и т.д.
Замечание 9.2.
Если функция
( )
имеет период
T
, то функция
( ) ( )
x f ax b
ϕ = +
, где
,
a b
– постоянные
и
0
a
>
,
имеет
период
/
T a
.
Действительно
,
( / ) ( ) ( ) ( )
T
x T a f a x b f ax b T f ax b x
a
ϕ + = + + = + + = + = ϕ
.
Примеры
функций
,
обладающих
теми
или
иными
из
перечисленных
выше
свойств
,
см
.
в
прил
. 1.
Л е к ц и я 10. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Основные элементарные функции
;
сложная функция
;
элементарные функции
;
предел функции на бесконечности
;
пре-
дел функции в точке
;
бесконечно большие величины
.
В
ходе
развития
математики
были
выявлены
функции
,
которые
наиболее
часто
используются
в
приложениях
.
Такие
функции
называются
основными элементарными функциями
.
К
ним
относятся
:
1)
степенная
функция
:
y x
α
=
,
α ∈
R
;
2)
показательная
функция
:
x
y a
=
,
, 0, 1
a a a
∈ > ≠
R
;
3)
логарифмическая
функция
:
log
a
y x
=
,
, 0, 1
a a a
∈ > ≠
R
(
частный
случай
:
ln
y x
=
);
4)
тригонометрический
функции
:
sin
y x
=
,
cos
y x
=
,
tg
y x
=
,
ctg
y x
=
;
5)
обратные
тригонометрические
функции
:
arcsin
y x
=
,
arccos
y x
=
,
arctg
y x
=
,
arcctg
y x
=
;
6)
гиперболические
функции
:
sh
y x
=
(
гиперболический
синус
),
ch
y x
=
(
гиперболический
косинус
),
th
y x
=
(
ги
-
перболический
тангенс
),
cth
y x
=
(
гиперболический
котангенс
);
по
определению
,
sh ch
sh , ch , th , cth
2 2 ch sh
x x x x
e e e e x x
x x x x
x x
− −
− +
= = = =
.
Основные
элементарные
функции
1) – 5)
изучались
в
школьном
курсе
математики
.
Более
подробная
информация
об
ос
-
новных
элементарных
функциях
приведена
в
прил
. 1.
Исходя
из
запаса
основных
элементарных
функций
,
введём
понятие
элементарной
функции
.
Для
этого
нам
понадобится
понятие
сложной
функции
.
Пусть
задана
функция
( )
u x
= ϕ
,
( )x D
∈ ϕ ⊆
R
,
а
на
множестве
{
}
( ) | ( ), ( )
E u u x x D
ϕ = = ϕ ∈ ϕ
задана
функция
( )
y f u
=
.
Тогда
можно
рассмотреть
функцию
: ( ) ( )
F D E f
ϕ → =
{
}
| ( ), ( )
y y f u u E
= ∈ ϕ
,
которая
каждому
( )
x D
∈ ϕ
ставит
в
соответ
-
ствие
(
)
( )
y f x
= ϕ
.
Полученная
функция
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
представляет
собой
функцию
от
функции
и
называется
сложной
функцией
(
суперпозицией
или
композицией
функций
f
и
ϕ
;
обозначение
:
f
ϕ
o
;
по
определению
,
(
)
(
)
( ) ( )
f x f x
ϕ = ϕ
o
)
,
при
этом
функция
( )
u x
= ϕ
называется
промежуточным аргументом
;
x
–
внутренним аргументом
(
или
независимой
пере
-
менной
):
Рис. 10.1
Другое
обозначение
сложной
функции
:
(
)
( )
y y u x
=
.
Сложную
функцию
(
)
( )
y f x
= ϕ
можно
записать
в
виде
отдельных
звеньев
(
в
виде
цепочки
равенств
):
( )
y f u
=
,
( )
u x
= ϕ
.
Например
,
сложную
функцию
3
sin
y x
=
можно
представить
в
виде
3
y u
=
,
u x
=
.
Сложная
функция
может
состоять
более
чем
из
двух
звеньев
,
в
частности
,
может
иметь
вид
:
(
)
(
)
( )
y y w u x
=
.
Например
,
сложная
функция
2
tg
x
y e=
состоит
из
трёх
звеньев
:
w
y e
=
,
2
w u
=
,
tg
u x
=
.
Определение 10.1.
Элементарной функцией
называется
любая
функция
,
получаемая
из
основных
элементарных
функ
-
ций
и
постоянных
с
помощью
конечного
числа
арифметических
операций
(
сложения
,
вычитания
,
умножения
,
деления
,
воз
-
ведения
в
натуральную
степень
)
и
конечного
числа
операций
взятия
функции
от
функции
(
конечного
числа
суперпозиций
).

Страницы