Математический анализ I. Фомин В.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 10.5
Определение 10.5. Говорят, что функция
( )
y f x
=
,
[
)
,x a
∈ +∞
при
x
→ +∞
сходится к
+∞
(или имеет предел
+∞
),
если для любого сколь угодно большого положительного числа
найдётся положительное число
∆
, определяемое в зави-
симости от взятого числа
, такое что для любого
x
> ∆
выполняется неравенство
( )
f x E
>
.
Обозначение:
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
. (10.3)
Итак, запись (10.3) означает, по определению, следующее:
0 ( ) 0 | ( )
E E x f x E
∀ > ∃∆ = ∆ > ∀ > ∆
⇒
>
.
Определение 10.6. Говорят, что функция
( )
y f x
=
,
[
)
,x a
∈ +∞
при
x
→ +∞
сходится к
−∞
(или имеет предел
−∞
),
если
0 ( ) 0 | ( )
E E x f x E
∀ < ∃∆ = ∆ > ∀ > ∆
⇒
<
.
Обозначение:
lim ( )
x
f x
→+∞
= −∞
.
Определение 10.7. Говорят, что функция
( )
y f x
=
,
(
]
,
x b
∈ −∞
при
x
→ −∞
сходится к
+∞
(или имеет предел
+∞
),
если
0 ( ) 0 | ( )
E E x f x E
∀ > ∃∆ = ∆ < ∀ < ∆
⇒
>
.
Обозначение:
lim ( )
x
f x
→−∞
= +∞
.
Определение 10.8. Говорят, что функция
( )
y f x
=
,
(
]
,
x b
∈ −∞
при
x
→ −∞
сходится к
−∞
(или имеет предел
−∞
),
если
0 ( ) 0 | ( )
E E x f x E
∀ < ∃∆ = ∆ < ∀ < ∆
⇒
<
.
Обозначение:
lim ( )
x
f x
→−∞
= −∞
.
Введём понятие предела функции в точке. Пусть
0
x
∈
R
,
δ
– некоторое положительное число.
Определение 10.9
. Проколотой
δ-
окрестностью точки
0
x
называется множество вида
{
}
{
}
0 0 0 0
( ) ( ) \ : 0O x O x x x x x
δ δ
= = ∈ < − < δ
&
R:
.
Рассмотрим некоторое множество
Ω ⊂
R
.
Определение 10.10. Точка
0
x
∈
R
называется
предельной точкой множества
Ω
, если в любой её сколь угодно малой
δ
– окрестности найдётся хотя бы одна точка множества
Ω
, отличная от точки
0
x
:
0 0
( ) ( ) |
O x x O x x
δ δ
∀ ∃ ∈ ∈Ω
&
.
Пример 10.1. Пусть
[
)
2; 5
Ω =
(рис. 10.6):
Рис. 10.6
Например,
1 2 3
2, 4, 5
x x x
= = =
– предельные точки множества
Ω
, при этом
1 2
,
x x
∈Ω
, но
3
x
∈ Ω
;
4
6
x
=
не является
предельной точкой множества
Ω
.

Страницы