Математический анализ I. Фомин В.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, зафиксируем произвольное сколь угодно большое положительное число
E
. Положим
(
)
1/
E
δ =
. То-
гда для
: 0x x
∀ < < δ
имеем:
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
( )
1/
f x E
x
x
E
= = > = =
δ
.
Получили:
0 ( ) 0 | : 0 0 ( )
E E x x f x E
, а это означает по определению 10.13, что
0
lim ( )
x
f x
→
= +∞
.
Определение 10.14. Говорят, что функция
( )
y f x
=
при
0
x x
→
сходится к
−∞
(или имеет предел
−∞
), если
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )
E E x D f x x f x E
∀ < ∃δ = δ > ∀ ∈ < − < δ
⇒
<
. (10.8)
Обозначение:
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞
.
Определение 10.15. Функция
( )
y f x
=
называется бесконечно
большой в точке
0
x
(или при
0
x x
→
), если
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
. (10.9)
Согласно определению 10.13 запись (10.9) означает следующее:
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )
E E x D f x x f x E
∀ > ∃δ = δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ >
. (10.10)
Функцию, бесконечно большую в данной точке, называют также бесконечно большой величиной (б.б.в.) в этой точке.
Замечание 10.4
. В определении 10.15 в качестве предельной точки
0
x
может выступать
+∞
или
−∞
.
Замечание 10.5.
Если выполняется (10.9), то говорят, что функция
( )
f x
при
0
x x
→
сходится к
∞
(или имеет предел
∞
).
Обозначение:
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
.
Замечание 10.6.
Любая функция
( )
f x
, для которой
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
, есть б.б.в. при
0
x x
→
.
Действительно, для такой функции выполняется (10.7). Имеем:
( )
f x E
>
,
0
E
>
( ) 0 ( ) ( )
f x f x f x
⇒ > ⇒ =
и (10.7)
принимает вид (10.10), а это означает, по определению, что
( )
f x
– б.б.в. при
0
x x
→
.
Например, функция из примера 10.3 является б.б.в. при
0
x
→
.
Замечание 10.7.
Любая функция
( )
f x
, для которой
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞
, есть б.б.в. при
0
x x
→
.
Действительно, для такой функции выполняется (10.8). Имеем:
( )
f x E
<
,
0
E
<
( ) , 0
( )
( ) 0 ( ) ( )
f x E E
f x E
f x f x f x
− > − − >
⇒ ⇒ > −
< ⇒ − =
,
т.е. выполняется (10.10), где в качестве
E
выступает
0
E
− >
, а это означает, по определению, что
( )
f x
– б.б.в. при
0
x x
→
.
Пример 10.4. Функция
1
( )f x
x
=
есть бесконечно большая при
0
x
→
(заметим, что
{
}
( ) \ 0
D f = R
).
Действительно, возьмём
0
E
>
. Положим
1/
E
δ =
. Тогда
: 0x x
∀ < < δ
имеем:
1 1 1 1
( )
1/
f x E
x x E
= = > = =
δ
.
Получили:
0 ( ) 0 | : 0 0 ( )
E E x x f x E
∀ > ∃δ = δ > ∀ < − < δ ⇒ >
, а это означает по определению 10.15, что
( )
f x
– б.б.в.
при
0
x
→
.
В силу замечания 10.5 допустима запись
0
1
lim
x
x
→
= ∞
. (10.11)
Особо подчеркнём, что запись (10.11) носит условный характер, ибо она обозначает лишь тот факт, что
0
1
lim
x
x
→
= +∞
. (10.12)
Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 10.9.

Страницы