Математический анализ I. Фомин В.И. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

π
=
2
круга
с.кр.
0
S
S
x
POP
2
1
2 2 2
x
S x x
π⋅
= ⋅ = ⋅ =
π π
,
0
0 0
1 1 1
1 tg tg
2 2 2
OP M
S OP MP x x
∆
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
.
Неравенства (11.13) принимают вид:
1 1
sin tg
x
x x
< <
,
т.е.
sin
1
sin
sin
cos 1
tg sin
cos
x
x x
x
x
x
x x x
x
x
x
<
<
⇔ ⇔ < <
>
>
.
Справедливость (11.12) для
0,
2
x
π
∈
установлена. В силу чётности функций
cos
x
и
sin
x
x
это двойное неравенство
выполняется также для
,0
2
x
π
∀ ∈ −
. Неравенства (11.12) доказаны. Покажем, что
0
lim cos 1
x
x
→
=
. (11.14)
Заметим, что
sin
x x
<
,
2
(0)
x O
π
∀ ∈
&
. (11.15)
Действительно, выше было показано, что
sin
x x
<
для
0,
2
x
π
∀ ∈
, т.е.
sin
x x
<
,
0,
2
x
π
∀ ∈
, ибо
sin 0
x
>
,
0
x
>
0,
2
x
π
∀ ∈
. Пусть
,0
2
x
π
− ∈ −
, тогда
0,
2
x
π
∈
и
sin( ) sin sin
x x x x x
− = − = < = −
, т.е.
sin( )
x x
− < −
. Справедливость
(11.15) установлена. Зададим
0
ε >
. Положим
2
δ = ε
. Тогда, используя (11.15) получаем для
: 0 0x x
∀ < − < δ
:
2
cos 1 2sin 2 sin sin 2
2 2 2 2 2
x x x x x
x
− = − = ⋅ < ⋅ ⋅ =
( )
2
2
2
1 1 1
2
2 2 2
x
= < δ = ε = ε
.
Показано, что для
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ < − < δ
0
0 ( ) 0 | : 0 0 cos 1
x x x
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ < − < δ
⇒
− < ε
, а это означает, по определению предела, что
0
lim cos 1
x
x
→
∃ =
. Из (11.12), (11.14) и того, что
0
lim1 1
x→
=
, следует в силу теоремы 11.4 равенство (11.11).
Предел (11.11) называется
первым замечательным пределом
. Его используют для раскрытия некоторых неопределённо-
стей типа
0
0
.
Среди функций, имеющих конечный предел в данной точке
0
x
, выделяется класс бесконечно малых функций (беско-
нечно малых величин) в этой точке. Бесконечно малые функции принято обозначать строчными буквами греческого алфави-
та.
Определение 11.1. Функция
( )
x
α
называется
бесконечно малой в точке
0
x
(или
при
0
x x
→
), если
0
lim ( ) 0
x x
x
→
α =
, (11.16)
т.е., согласно определению предела, если для
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )x D x x x
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ α < − < δ
⇒
α < ε
, (11.17)
или в силу (10.6), если для
(
)
(
)
0 0
0 ( ), ( ) | ( ) ( ) ( ) 0
O O x x D O x x O
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ α ∩ ⇒ α ∈
&
. (11.18)
Пример 11.1. Функция
( ) 3 3
x x
α = −
является бесконечно малой при
1
x
→
(заметим, что
( )D
α =
R
).
Действительно, зафиксируем произвольное сколь угодно малое положительное число
ε
. Чтобы показать, что
1
lim ( ) 0
x
x
→
α =
, нам нужно в силу (11.17) подобрать положительное число
( ) |
δ = δ ε
: 0 1 ( )x x x
∀ < − < δ ⇒ α < ε
. Имеем:

Страницы