Математический анализ I. Фомин В.И. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4
○
. Произведение б.б.в. в данной точке и функции, имеющей конечный ненулевой предел в этой точке, есть б.б.в. в
данной точке.
Действительно, пусть
( )
f x
– б.б.в. в точке
0
x
и
0
lim ( )
x x
g x B
→
∃ =
,
0
B
≠
. В силу замечаний 10.2, 10.3
*
0
( ) | ( )
δ
∃ ≥
&
,
const
m
=
,
0
m
>
, следовательно, в силу свойства 3
○
( ) ( )
f x g x
– б.б.в. в точке
0
x
.
5
○
. Сумма б.б.в. в данной точке и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности этой точки , есть б.б.в.
в данной точке.
Действительно, пусть
( )
f x
– б.б.в. в точке
0
x
и функция
( )
g x
такова, что
( )
g x C
≤
,
*
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
, где
const, 0
C C
= >
. Пусть
0
E
>
. Тогда в силу (10.10) для числа
E C
+
1 1 1
( ) ( ) 0 |
E C E
∃δ = δ + = δ >
0 1
( ) : 0 ( )
x D f x x f x E C
∀ ∈ < − < δ
⇒
> +
. Положим
{
}
1 *
min ,
δ = δ δ
. Заметим, что
( )
E
δ = δ
, ибо
1 1
( )
E
δ = δ
. Тогда для
( ) ( ) :
x D f D g
∀ ∈ ∩
0
0 ( )
x x f x E C
< − < δ
⇒
> +
и
( )
g x C
≤
, следовательно,
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x E C C E
+ ≥ − > + − =
.
Итак, для
>0
E
∀
0
( ) 0 | ( ) ( ) : 0E x D f D g x x
∃δ = δ > ∀ ∈ ∩ < − < δ
⇒
( ) ( )
f x g x E
+ >
, а это означает, по определению, что
( ) ( )
f x g x
+
– б.б.в. в точке
0
x
.
При доказательстве основной теоремы о пределах функций будет использован следующий критерий.
Теорема 12.1.
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
⇔
( ) ( )
f x A x
= + α
, (12.1)
(*) (**)
где
( )
x
α
– б.м.в. при
0
x x
→
.
Необходимость: (*)
⇒
(**). Пусть выполняется условие (*). Положим
( ) ( )
x f x A
α = −
, тогда
( ) ( )
f x A x
= + α
. В силу
(*)
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )x D f x x f x A
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε
,
т.е.
( )x
α < ε
, а это означает, по определению, что
( )
x
α
– б.м.в. при
0
x x
→
. Получили:
( ) ( )
f x A x
= + α
, где
( )
x
α
– б.м.в.
при
0
x x
→
.
Достаточность: (**)
⇒
(*). Пусть выполняется условие (**). Тогда
( ) ( )
x f x A
α = −
. (12.2)
По условию
( )
x
α
– б.м.в. при
0
x x
→
, т.е. для
0
0 ( ) 0 | ( ) : 0 ( )x D f x x x
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒ α < ε
или в силу (12.2)
( )f x A
− < ε
, а это означает по определению предела, что
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
.
Назовём теорему 12.1
первым признаком существования конечного предела функции в точке.
В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 12.1. Пусть для функции
( )
v x
0
lim ( )
x x
v x B
→
∃ =
и
0
B
≠
. Тогда найдётся некоторая
*
0
( ) |
O x
δ
&
функция
1
( )
v x
опреде-
лена и ограничена на множестве
*
0
( ) ( )
D v O x
δ
∩
&
.
По определению предела, для
0
∀ε >
( ) 0 |
∃δ = δ ε >
0
( ) ( ) ( )x D v O x v x B
δ
∀ ∈ ∩ ⇒ − < ε
&
. В частности для числа
0
2
B
ε = >
*
0
( ) |
O x
δ
∃
( )
2
B
v x B− <
,
*
0
( ) ( )
x D v O x
δ
∀ ∈ ∩
&
. (12.3)
Используя (12.3), получаем для
*
0
( ) ( )
x D v O x
δ
∀ ∈ ∩
&
:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
B
B v x v x B v x v x B v x
= − − ≤ + − < + ⇒
( ) ( ) ( ) 0
2 2
B B
B v x v x v x
⇒ < + ⇒ > ⇒ ≠
,
следовательно, функция
1
( )
v x
определена на множестве
*
0
( ) ( )
D v O x
δ
∩
&
. Далее, используя полученное неравенство
( )
2
B
v x >
,
*
0
( ) ( )
x D v O x
δ
∀ ∈ ∩
&
,

Страницы