Математический анализ I. Фомин В.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Положим
1
( ) ( ) ( )
( )
A
x x x
v x B
σ = α − β
. В силу следствия 11.5 и теоремы 11.8
( )
x
σ
– б.м.в. при
0
x x
→
. В силу (12.12)
( )
( )
( )
u x A
v x B
= + σ
, где
( )
x
σ
– б.м.в. при
0
x x
→
. Следовательно, в силу теоремы 12.1
0
( )
lim
( )
x x
u x A
v x B
→
∃ =
, т.е. в силу (12.4), (12.5)
справедлива формула (12.9).
Замечание 12.1.
Теорема 12.2 сохраняет силу, если в качестве предельной точки
0
x
выступает
+∞
или
−∞
.
Замечание 12.2.
Если
0
lim ( )
x x
f x
→
∃
, то для
c
∀ ∈
R
[
]
0
lim ( )
x x
cf x
→
∃
и
[
]
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
cf x c f x
→ →
=
. (12.13)
Действительно, в силу (12.8), (11.7)
[
]
0 0 0 0
lim ( ) lim lim ( ) lim ( )
x x x x x x x x
cf x c f x c f x
→ → → →
= ⋅ =
.
Используя теорему 12.2 и метод математической индукции, приходим к следующему утверждению.
Теорема 12.3. Сумма любого конечного числа функций
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
, имеющих конечный предел в точке
0
x
,
есть функция, имеющая конечный предел в точке
0
x
, и
0 0
1 1
lim ( ) lim ( )
s s
i i
x x x x
i i
u x u x
→ →
= =
=
∑ ∑
.
Следствие 12.1.
Если функции
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
имеют конечный предел в точке
0
x
, то их
линейная комбинация
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
s s
u x u x u x
λ + λ + + λ
с любыми коэффициентами
1 2
, ,...,
s
λ λ λ ∈
R
имеет конечный предел в точке
0
x
и
0 0
1 1
lim ( ) lim ( )
s s
i i i i
x x x x
i i
u x u x
→ →
= =
λ = λ
∑ ∑
.
Следствие 12.1 вытекает из замечания 12.2 и теоремы 12.3.
Теорема 12.2 и следствие 12.1 позволяют находить пределы функций в данной точке, получаемых в результате арифме-
тических операций над функциями, имеющими конечный предел в этой точке.
Возможна ситуация, когда при вычислении предела суммы, разности, произведения и частного двух функций в данной
точке предел хотя бы одной из них в этой точке равен
+∞
(или
−∞
), а в случае частного предел знаменателя равен нулю.
В простейших случаях такая ситуация разрешается непосредственно.
Пример 12.1. Пусть
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
,
A
∈
R
,
0
A
≠
;
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
. Тогда
0
( )
lim
( ) 0
x x
f x A
B
g x
→
= = = ∞
, (12.14)
ибо в силу теоремы 11.11
1/ ( )
g x
– б.б.в. в точке
0
x
, следовательно, в силу свойства 4
○
[
]
( ) / ( ) ( ) 1/ ( )
f x g x f x g x
= ⋅
– б.б.в. в
точке
0
x
.
Запись
0
А
имеет условный характер: она означает лишь то, что при
0
x x
→
предел числителя равен
A
, а предел зна-
менателя равен нулю.
Замечание 12.3.
Если функции
( )
f x
и
( )
g x
имеют конкретный вид, то природу предела
B
надо уточнить, а именно,
найти
0
1
0
( )
lim
( )
x x
f x
B
g x
→ −
=
,
0
2
0
( )
lim
( )
x x
f x
B
g x
→ +
=
.
Если
1
B
= +∞
и
2
B
= +∞
, то
B
= +∞
. Если
1
B
= −∞
и
2
B
= −∞
, то
B
= −∞
. Если
1
B
= +∞
и
2
B
= −∞
, либо
1
B
= −∞
и
2
B
= +∞
, то запись (12.14) надо понимать в следующем смысле:
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
= +∞
.
Пример 12.2. Пусть
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
,
A
∈
R
,
0
A
≠
;
0
lim ( )
x x
g x
→
= ∞
. Тогда
0
( )
lim 0
( )
x x
f x A
B
g x
→
= = =
∞
,

Страницы