Математический анализ I. Фомин В.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обычно (12.23), (12.24) объединяют в одну формулу
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
+ =
(12.25)
и называют
вторым замечательным пределом
.
Второй замечательный предел можно записать в следующем виде:
( )
1
0
lim 1
e
α
α→
+ α =
. (12.26)
Действительно,
( )
1
0
1 1
,
1
lim 1 lim 1
, 0
x
x
x
x
x
x
α
→∞ α→
α = =
+ = = + α
α
→ ∞ α →
(12.27)
и (12.26) следует из (12.25), (12.27).
Второй замечательный предел применяется при раскрытии некоторых неопределённостей типа
1
.
Неопределённость
типа
1
может
возникнуть
при
нахождении
предела
функции
[ ]
( )
( )
x
y x
ψ
= ϕ
,
которую
называют
показательно-степенной
(
или
степенно-показательной
)
функцией
при
условии
,
что
( ) 0
x
ϕ >
.
Л е к ц и я 13.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Односторонние пределы функции в точке
;
признак существования предела функции в терминах её односторонних пре-
делов
;
непрерывность функции в точке
;
признак непрерывности функции в точке
;
непрерывность функции на множестве
;
пример непрерывной функции
;
основная теорема о непрерывных функциях
,
следствия из неё
;
теорема о непрерывности
сложной функции
;
теорема о непрерывности обратной функции
;
непрерывность основных элементарных функций
;
непре-
рывность элементарных функций
.
Пусть
0
, 0
x
∈ δ >
R
.
Определение 13.1.
Левосторонней
δ
-
полуокрестностью точки
0
x
называется
множество
вида
(
]
0 0 0
( ) ,
O x x x
−
δ
= − δ
.
Определение 13.2.
Проколотой левосторонней
δ
-
полуокрестностью точки
0
x
называется
множество
вида
(
)
0 0 0
( ) ,
O x x x
−
δ
= − δ
&
.
Определение 13.3.
Правосторонней
δ
-
полуокрестностью точки
0
x
называется
множество
вида
[
)
0 0 0
( ) ,O x x x
+
δ
= + δ
.
Определение 13.4.
Проколотой правосторонней
δ
-
полуокрестностью точки
0
x
называется
множество
вида
(
)
0 0 0
( ) ,O x x x
+
δ
= + δ
&
.
Заметим
,
что
0 0
( ) ( )O x O x
− +
δ δ
∩ = ∅
& &
,
0 0
( ) ( )
O x O x
−
δ δ
⊂
& &
, (13.1)
0 0
( ) ( )
O x O x
+
δ δ
⊂
& &
, (13.2)
0 0 0
( ) ( ) ( )
O x O x O x
− +
δ δ δ
∪ =
& & &
. (13.3)
Графическая
иллюстрация
представлена
на
рис
. 13.1.
Рис. 13.1
Рассмотрим
некоторое
множество
Ω ⊂
R
.
Определение 13.5.
Точка
0
x
∈
R
называется левосторонней предельной точкой множества
Ω
,
если
для
0 0
( ) ( ) |O x x O x x
− −
δ δ
∀ ∃ ∈ ∈Ω
& &
. (13.4)
Определение 13.6.
Точка
0
x
∈
R
называется правосторонней предельной точкой множества
Ω
,
если
для
0 0
( ) ( ) |O x x O x x
+ +
δ δ
∀ ∃ ∈ ∈ Ω
& &
. (13.5)

Страницы