Математический анализ I. Фомин В.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
2 2
0 2 2 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
+ +
ε δ δ ε
∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
& &
.
Положим
{
}
1 2
min ,
δ = δ δ
(заметим, что
δ = δ ε
, ибо
1 1
( )
δ = δ ε
,
2 2
( )
δ = δ ε
). Тогда
0
( ) ( )
x D f O x
−
δ
∀ ∈ ∩
&
и для
0
( ) ( )
x D f O x
+
δ
∀ ∈ ∩
&
, т.е. в силу (13.3)
(
)
0
( ) ( ) ( )
x D f O x f x O A
δ ε
∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
. Получили:
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
,
а это означает по определению, что
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
.
Назовём теорему 13.1
вторым признаком существования конечного предела функции в точке
(первым признаком суще-
ствования конечного предела функции в точке была названа теорема 12.1)
К важнейшим понятиям математического анализа относится понятие непрерывности функции.
Рассмотрим функцию
( )
y f x
=
,
( )
x D f
∈
. Пусть
0
x
– предельная точка множества
( )
D f
и
0
( )
x D f
∈
.
Определение 13.10. Функция
( )
f x
называется
непрерывной
в точке
0
x
, если существует конечный предел функции
( )
f x
в точке
0
x
, равный значению функции
( )
f x
в точке
0
x
:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
∃ =
. (13.9)
Если функция
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
, то
0
x
называется
точкой непрерывности функции
( )
f x
.
Согласно определению предела функции в точке (см. определение 10.11) непрерывность функции
( )
f x
в точке
0
x
оз-
начает следующее:
0 0
0 ( ) 0 | ( ) : ( ) ( )x D f x x f x f x
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ − < δ ⇒ − < ε
.
(13.10)
Запись (13.10) получена из (10.5) заменой
A
на
0
( )
f x
, при этом условие
0
0
x x
− >
, т.е.
0
x x
≠
из (10.5) опущено, ибо
при
0
x x
=
разность
0
( ) ( )
f x f x
−
равна нулю и, следовательно, удовлетворяет неравенству
0
( ) ( )f x f x
− < ε
при любом
0
ε >
.
Заметим, что при определении предела функции
( )
f x
в точке
0
x
её значение в данной точке не рассматривалось (предель-
ная точка
0
x
множества
( )
D f
не обязательно принадлежит этому множеству (см. пример 10.1), в этом случае
( )
f x
не оп-
ределена в точке
0
x
; но и в случае
0
( )
x D f
∈
значение
(
)
0
f x
в определении предела функции
( )
f x
в точке
0
x
не учитыва-
лось). А при определении непрерывности функции
( )
f x
в точке
0
x
значение
0
( )
f x
имеет важное значение.
Согласно геометрическому определению предела функции в точке (см. определение 10.12) непрерывность функции
( )
f x
в точке
0
x
означает следующее:
(
)
0
( )
O f x
ε
∀
(
)
0 0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )
O x x D f O x f x O f x
δ δ ε
∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
. (13.11)
Используя (13.9) и теорему 12.1, приходим к
первому признаку непрерывности функции в точке
:
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
⇔
0
( ) ( ) ( )
f x f x x
= + α
, (13.12)
где
( )
x
α
– б.м.в. в точке
0
x
.
Используя (13.9) и теорему 13.1, приходим ко
второму признаку непрерывности функции в точке
:
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
⇔
∃
конечные
0 0
( 0), ( 0)
f x f x
− +
и
0 0 0
( 0) ( 0) ( )
f x f x f x
− = + =
. (13.13)
Определение 13.11. Функция
( )
f x
называется
непрерывной в точке
0
x
слева
, если
(
)
0 0
0 ( )
f x f x
∃ − =
.
Определение 13.12. Функция
( )
f x
называется
непрерывной в точке
0
x
справа
, если
(
)
0 0
0 ( )
f x f x
∃ + =
.
В силу (13.13) получаем
третий признак непрерывности функции в точке
:
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
⇔
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
слева и справа. (13.14)
Пусть функция
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
, т.е. выполняется (13.10). Положим
0
x x x
∆ = −
,
0
( ) ( )
y f x f x
∆ = −
. Вели-
чина
x
∆
называется приращением аргумента в точке
0
x
, а величина
y
∆
– приращением функции в точке
0
x
(обозначения
x
∆
,
y
∆
нужно рассматривать как цельные символы, не отделяя
∆
от
x
и
y
). Соотношение (13.10) принимает следующий
вид
0 ( ) 0 | ( ) :x D f x y
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ ∆ < δ ⇒ ∆ < ε
,
а это означает, по определению предела, что

Страницы