Математический анализ I. Фомин В.И. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
→ →
ϕ = ϕ
, (13.22)
в частности, в случае
( )
x x
ϕ =
( )
0 0
lim lim
x x x x
f x f x
→ →
=
. (13.23)
(функция
( )
x x
ϕ =
непрерывна в каждой точке
0
x
∈
(см. замеча-
ние 13.2)).
Соотношения (13.22), (13.23) показывают, что знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами.
Пример 13.2.
Найти предел функции
5
( ) sin
F x x
=
в точке
0
0
x
=
.
Решение
. Функция
5
sin
y x
=
является сложной функцией, ибо её можно записать в виде суперпозиции двух функций
5
y u
=
,
sin
u x
=
, каждая из которых непрерывна на
R
(см. замечание 13.3 и при-
мер 13.1), в частности, непрерывна в точке
0
0
x
=
. Следовательно, по теореме 13.4 сложная функция
5
sin
y x
=
непрерывна
в точке
0
0
x
=
. Тогда
(
)
( )
5
5
5 5
0 0
lim sin lim sin sin 0 0 0
x x
x x
→ →
= = = =
.
Пусть функция
( )
y f x
=
строго монотонна на
( )
D f
. Тогда согласно теореме 9.1 для этой функции существует обрат-
ная функция
1
( )
x f y
−
=
, которая тоже строго монотонна на
1
( ) ( )
D f E f
−
=
.
Справедливо следующее утверждение [11, с. 172].
Теорема 13.5.
Если строго монотонная на
( )
D f
функция
( )
y f x
=
непрерывна на
( )
D f
, то обратная для неё функция
1
( )
x f y
−
=
непрерывна на
1
( ) ( )
D f E f
−
=
.
Теоремы 13.2, 13.4, 13.5 позволяют доказать непрерывность основных элементарных функций.
Теорема 13.6. Каждая из основных элементарных функций непрерывна на своей области определения.
При доказательстве ограничимся случаем тригонометрических и обратных тригонометрических функций. В приме-
ре 13.1 было показано, что функция
sin
y x
=
непрерывна на
( )D y
=
R
. Используя формулу
cos sin
2
π
α = α +
,
∀α ∈
R
,
функцию
cos
y x
=
можно записать в виде
sin
2
y x
π
= +
, т.е. в виде суперпозиции двух функций
sin
y u
=
,
2
u x
π
= +
, каж-
дая из которых непрерывна на
R
(см. пример 13.1, замечания 13.2, 13.4 и следствие 13.3). Следовательно, в силу теоремы
13.4 функция
cos
y x
=
непрерывна на
( )D y
=
R
. В силу теоремы 13.2 функция
sin
tg
cos
x
y x
x
= =
непрерывна на
( ) \ ,
2
D y k k
π
= + π ∈
R Z
, а функция
cos
ctg
sin
x
y x
x
= =
непрерывна на
{
}
( ) \ ,D y k k= π ∈
R Z
. Обратные тригонометрические
функции
arcsin
y x
=
,
arccos
y x
=
,
arctg
y x
=
,
arcctg
y x
=
непрерывны
на
своих
областях
определения
в
силу
теоремы
13.5.
Непрерывность
степенной
функции
y x
α
=
в
случае
n
α =
,
n
∈
N
,
показана
выше
(
см
.
замечания
13.2, 13.3).
Доказа
-
тельство
непрерывности
степенной
функции
в
общем
случае
см
.
в
[11,
с
.156].
Доказательство
непрерывности
показательной
функции
x
y a
=
см
.
в
[9,
с
. 327].
Непрерывность
логарифмической
функции
log
a
y x
=
следует
из
непрерывности
показательной
функции
в
силу
теоре
-
мы
13.5,
ибо
логарифмическая
функция
является
обратной
для
показательной
функции
.
Гиперболические
функции
sh , ch , th , cth
y x y x y x y x
= = = =
непрерывны
в
силу
непрерывности
показательной
функ
-
ции
x
y e
=
и
теорем
13.2, 13.4.
Следствие 13.7.
Предел
любой
основной
элементарной
функции
в
произвольной
точке
из
её
области
определения
ра
-
вен
значению
этой
функции
в
данной
точке
.
Например
,
3
lim arctg arctg 3
3
x
x
→
π
= =
.
Исходя
из
определения
элементарной
функции
(
см
.
определе
-
ние
10.1)
и
используя
теоремы
13.2, 13.4
и
следствия
к
ним
,
приходим
к
следующему
утверждению
.
Теорема 13.7.
Каждая
элементарная
функция
непрерывна
на
своей
области
определения
.
Следствие 13.8.
Предел
любой
элементарной
функции
в
произвольной
точке
из
её
области
определения
равен
значе
-
нию
этой
функции
в
данной
точке
.
Например
,

Страницы