Математический анализ I. Фомин В.И. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

159
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
u x x u x
w w x x w x
v x x v x
+ ∆
∆ = + ∆ − = − =
+ ∆
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u x x v x u x v x x
v x x v x
+ ∆ − + ∆
=
+ ∆
]
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u x x v x u x v x u x v x x u x v x
v x x v x
+ ∆ − − + ∆ −
= =
+ ∆
]
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u x x u x v x u x v x x v x
v x x v x
+ ∆ − − + ∆ −
= =
+ ∆
( ) ( )
( ) ( )
u v x u x v
v x x v x
∆ ⋅ − ⋅∆
+ ∆
.
Итак,
( ) ( )
( ) ( )
u v x u x v
w
v x x v x
∆ ⋅ − ⋅∆
∆ =
+ ∆
,
следовательно,
( ) ( )
( ) ( )
u v
v x u x
w
x x
x v x x v x
∆ ∆
⋅ − ⋅
∆
∆ ∆
=
∆ + ∆
. (16.9)
Тогда в силу (16.6), (16.8), теоремы 12.2 и замечания 12.2
[ ]
0
0
0
lim ( ) ( )
( ) ( )
lim
( ) ( ) lim ( ) ( )
x
x
x
u v
u v
v x u x
v x u x
x x
x x
v x x v x v x x v x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ ∆
∆ ∆
⋅ − ⋅
⋅ − ⋅
∆ ∆
∆ ∆
∃ = =
+ ∆ + ∆
0 0
0
lim ( ) ( ) lim
( ) lim ( )
x x
x
u v
v x u x
x x
v x v x x
∆ → ∆ →
∆ →
∆ ∆
⋅ −
∆ ∆
= =
+ ∆
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
u x v x u x v x
v x
′ ′
−
,
т.е. в силу (16.9)
0
lim
x
w
x
∆ →
∆
∃ =
∆
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
u x v x u x v x
v x
′ ′
−
,
а это означает, по определению производной, что функция
)
)
( ) ( ) / ( )
w x u x v x
=
дифференцируема в точке
x
и её производ-
ная выражается формулой (16.4).
Пример 16.1. Рассмотрим функцию
( ) const
f x c= =
,
x D
∀ ∈ ⊆
R
, где
D
– открытое множество. Производная такой
функции равна нулю:
( )
0
c
′
=
. Действительно, зафиксируем произвольное
x D
∈
. Тогда в силу открытости множества
D
( ) | ( )
O x O x D
δ δ
∃ ⊂
. Рассмотрим
0 |
x
∆ ≠
( )
x x O x D
δ
+ ∆ ∈ ⊂
. Тогда
( ) ( ) 0
y f x x f x c c
∆ = + ∆ − = − =
( ) ( ) 0
y f x x f x c c
∆ = + ∆ − = − =
. Следовательно,
0 0 0
0
( ) lim lim lim 0 0
x x x
y
f x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆
′
= = = =
∆ ∆
.
Замечание 16.1.
Если функция
( )
u u x
=
дифференцируема на множестве
( )
D D u
⊆
, то для
c
∀ ∈
R
функция
( )
cu x
то-
же дифференцируема на множестве
D
и справедлива формула
[ ]
( ) ( )
cu x cu x
′
′
=
, (16.10)
т.е. постоянную можно выносить за знак производной.
Действительно, зафиксируем произвольное
x D
∈
. Рассмотрим любое
0 |
x
∆ ≠
x x D
+ ∆ ∈
. Пусть
( ) ( )
w x u x
= α
. Тогда
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
w w x x w x u x x u x u x x u x u
∆ = + ∆ − = α + ∆ − α = α + ∆ − = α∆
,
0 0 0
( ) lim lim lim ( )
x x x
w c u u
w x c cu x
x x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
′ ′
= = = =
∆ ∆ ∆
.
Используя теорему 16.1 и метод математической индукции, приходим к следующему утверждению.
Теорема 16.2. Сумма любого конечного числа функций
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
, дифференцируемых на множестве
D
⊆
R
,
есть функция, дифференцируемая на множестве
D
и
1 1
( ) ( )
s s
i i
i i
u x u x
= =
′
′
=
∑ ∑
.
Следствие 16.1.
Если функции
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
дифференцируемы на множестве
D
⊆
R
, то их линейная комбина-
ция
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
s s
u x u x u x
λ + λ + + λ
с любыми коэффициентами
1 2
, ,...,
s
λ λ λ ∈
R
дифференцируема на множестве
D
и
cu
cu
cu
c
c

Страницы