Математический анализ I. Фомин В.И. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

165
1
( ) |
O a
+
δ
∃
&
1
( ) ( ) ( )
x O a f x f a
+
δ
∀ ∈ ⇒ >
&
; (17.4)
в силу теоремы 17.2 функция
( )
f x
убывает в точке
b
слева, т.е.
2
( ) |
−
δ
∃
&
2
( ) ( ) ( )
x O b f x f b
−
δ
∀ ∈ ⇒ >
&
; (17.5)
По условию теоремы функция
( )
f x
дифференцируема на отрезке
[
]
,
a b
, следовательно,
( )
f x
непрерывна на
[
]
,
a b
(см.
следствие 15.1). Тогда по второй теореме Вейерштрасса (см. теорему 14.6) функция
( )
f x
достигает своего наибольшего зна-
чения на отрезке
[
]
,
a b
в некоторой точке
[
]
,
c a b
∈
. В силу (17.4), (17.5)
,
c a c b
≠ ≠
,
т
.
е
.
(
)
,
c a b
∈
.
Мы
оказались
в
условиях
теоремы
Ферма
,
в
силу
которой
( ) 0
f c
′
=
.
Рассмотрим
общий
случай
.
Пусть
,
для
определённости
,
( ) ( )
f a f b
′ ′
>
(
случай
( ) ( )
f a f b
′ ′
<
рассматривается
аналогич
-
но
).
Зафиксируем
произвольное
число
| ( ) ( )
K f a K f b
′ ′
> >
.
Покажем
,
что
(
)
, | ( )
c a b f c K
′
∃ ∈ =
.
Рассмотрим
вспомогатель
-
ную
функцию
( ) ( )
x f x Kx
ϕ = −
.
Функция
( )
x
ϕ
дифференцируема
на
[
]
,
a b
,
как
разность
двух
дифференцируемых
функций
и
( ) ( )
x f x K
′ ′
ϕ = −
.
Далее
,
( ) ( ) 0
a f a K
′ ′
ϕ = − >
,
( ) ( ) 0
b f b K
′ ′
ϕ = − <
.
Следовательно
,
по
доказанному
ранее
(
)
, | ( ) 0
c a b c
′
∃ ∈ ϕ =
.
Но
( ) ( )
c f c K
′ ′
ϕ = −
.
Получили
:
( ) 0
f c K
′
− =
,
т
.
е
.
( )
f c K
′
=
.
Теорема 17.5
(
теорема Ролля
или
теорема о существовании нуля производной
).
Пусть
функция
( )
y f x
=
,
заданная
на
отрезке
[
]
,
a b
,
удовлетворяет
следующим
условиям
:
1)
( )
f x
непрерывна
на
отрезке
[
]
,
a b
;
2)
( )
f x
дифференцируема
на
интервале
(
)
,
a b
;
3)
( )
f x
принимает
равные
значения
на
концах
отрезка
[
]
,
a b
,
т
.
е
.
( ) ( )
f a f b
=
.
Тогда
(
)
, | ( ) 0
c a b f c
′
∃ ∈ =
.
Из
условия
1)
следует
в
силу
второй
теоремы
Вейерштрасса
,
что
функция
( )
f x
достигает
на
[
]
,
a b
своих
наиболь
-
шего
и
наименьшего
значений
*
M
и
*
m
.
Возможны
два
случая
:
*
*
M m
=
и
*
*
M m
>
.
Пусть
*
*
M m
=
,
тогда
( ) const
f x c= =
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
.
Следовательно
(
см
.
пример
16.1),
( ) 0
f x
′
=
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
и
в
качестве
c
из
утверждения
теоремы
можно
взять
лю
-
бую
точку
из
интервала
(
)
,
a b
.
Пусть
*
*
M m
>
.
Тогда
из
условия
3)
следует
,
что
хотя
бы
одно
из
значений
*
M
,
*
m
достига
-
ется
в
некоторой
точке
(
)
,
c a b
∈
.
Кроме
того
,
в
силу
условия
2)
функция
( )
f x
дифференцируема
в
точке
c
.
Следовательно
,
по
теореме
Ферма
( ) 0
f c
′
=
.
Геометрическая
трактовка
теоремы
Ролля
:
если
ординаты
крайних
точек
графика
функции
( )
y f x
=
,
[
]
,
x a b
∈
равны
,
то
на
графике
найдётся
точка
(
)
0
, ( )
M c f c
,
в
которой
касательная
K
к
графику
параллельна
оси
абсцисс
(
рис
. 17.3).
Рис. 17.3
Теорема 17.6
(
теорема Лагранжа
или
теорема о конечных приращениях
).
Пусть
функция
( )
y f x
=
,
заданная
на
отрезке
[
]
,
a b
,
удовлетворяет
следующим
условиям
:
1)
( )
f x
непрерывна
на
отрезке
[
]
,
a b
;
2)
( )
f x
дифференцируема
на
интервале
(
)
,
a b
.

Страницы