Математический анализ I. Фомин В.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

168
рассматриваемое в
(0)
O
δ
&
, не имеет предела при
0
x
→
(рис. Д.1.1).
Рис. Д.1.1
Определение Д.1.2. Б.м.в.
( )
x
α
и
( )
x
β
называются
б.м.в. одного порядка малости
при
x x
→
, если
∃
конечный
0
( )
lim
( )
x x
x
A
x
→
α
=
β
,
0
A
≠
,
в частности, б.м.в.
( )
x
α
и
( )
x
β
называются эквивалентными б.м.в. при
x x
→
, если
0
( )
lim 1
( )
x x
x
x
→
α
∃ =
β
.
Обозначение б.м.в. одного порядка малости:
(
)
0
( ) ( )
x x
x O x
→
α = β
(читается:
( )
x
α
равна
O
большое от
( )
x
β
при
x x
→
).
Обозначение эквивалентных б.м.в. :
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α β
(читается:
( )
x
α
эквивалентна
( )
x
β
при
x x
→
).
Замечание Д.1.1
.
Если
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α β
, то
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
β α
.
Действительно,
[ ]
0 0
0
( ) 1 1 1
lim lim 1
( ) ( ) / ( ) lim ( ) / ( ) 1
x x x x
x x
x
x x x x x
→ →
→
β
= = = =
α α β α β
,
а это означает, по определению, что
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
β α
.
Пример Д.1.2. Функции
( )
2
( ) 5 1
x x
α = −
,
2
( ) 2 1
x x x
β = − +
есть б.м.в. в точке
0
1
x
=
. Заметим, что
(
)
1
( ) ( )
x
x O x
→
α = β
,
ибо
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 1 1 1
5 1 5 1
( )
lim lim lim lim5 5 0
( )
2 1
1
x x x x
x x
x
x
x x
x
→ → → →
− −
α
= = = = ≠
β
− +
−
.
Пример Д.1.3. Функции
( ) sin
x x
α =
,
( )
x x
β =
есть б.м.в. в точке
0
0
x
=
. Заметим, что
0
( ) ~ ( )
x
x x
→
α β
, ибо
0 0
( ) sin
lim lim 1
( )
x x
x x
x x
→ →
α
= =
β
.
Определение Д.1.3. Б.м.в.
( )
x
α
называется б.м.в.
высшего
(или
более высокого
)
порядка малости
по сравнению с
б.м.в.
( )
x
β
при
x x
→
, если
0
( )
lim 0
( )
x x
x
x
→
α
=
β
.
Обозначение:
(
)
0
( ) ( )
x x
x o x
→
α = β
(читается:
( )
x
α
равна
o
малое от
( )
x
β
при
x x
→
).
Пример Д.1.4. Функции
( )
5
( ) 2
x xα = +
,
( )
3
( ) 2
x xβ = +
есть б.м.в. в точке
0
2
x
= −
. Заметим, что
(
)
2
( ) ( )
x
x o x
→−
α = β
, ибо
( )
( )
( )
5
2
3
2 2 2
2
( )
lim lim lim 2 0
( )
2
x x x
x
x
x
x
x
→− →− →−
+
α
= = + =
β
+
.

Страницы