Математический анализ I. Фомин В.И. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

173
на
D
, следовательно, в силу непрерывности показательной функции, функция (Д.2.7) (и тем самым, функция (Д.2.6)) непре-
рывна на
D
.
Замечание
Д.2.2.
Если функции
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
дифференцируемы на некотором множестве
( )
D D y
⊆
, то функция (Д.2.6)
дифференцируема на
D
.
Действительно, в силу теоремы 16.5 логарифмическая функция дифференцируема на своей области определения. Тогда
в силу следствия 16.2 сложная функция
ln ( )
x
ϕ
дифференцируема на
D
и
[ ]
1
( )
x x
x
′
′
ϕ = ⋅ϕ
ϕ
. (Д.2.8)
Значит, в силу теоремы 16.1 функция
( )ln ( )
x x
ψ ϕ
дифференцируема на
D
и
[ ] [ ]
( )ln ( ) ( )ln ( ) ( ) ln ( )
x x x x x x
′ ′
′
ψ ϕ = ψ ϕ + ψ ⋅ ϕ
или, учитывая (Д.2.8),
[ ]
( )
( )ln ( ) ( )ln ( ) ( )
( )
x
x x x x x
x
′
ϕ
′
′
ψ ϕ = ψ ϕ + ψ
ϕ
. (Д.2.9)
Применяя формулу
( )
u u
e e u
′
′
= ⋅
, получаем из (Д.2.7), (Д.2.9)
( )ln ( )
( )
( )ln ( ) ( )
( )
x x
x
y e x x x
x
ψ ϕ
′
ϕ
′ ′
= ⋅ ψ ϕ + ψ
ϕ
или
[ ]
(
)
[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )ln ( ) ( )
( )
x x
x
x x x x x
x
ψ ψ
′
′
ϕ
′
ϕ = ϕ ψ ϕ + ψ
ϕ
. (Д.2.10)
или
[ ]
(
)
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) 1
( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x
ψ ψ ψ −
′
′ ′
ϕ = ϕ ϕ ⋅ψ + ψ ϕ ⋅ϕ
. (Д.2.11)
Получена формула для нахождения производной показательно-степенной функции. Заметим, что
( )ln ( ) ln
x x y
ψ ϕ =
и
формулу (Д.2.10) можно записать в виде
( )
ln
y y y
′
′
= ⋅
. (Д.2.12)
Производную от натурального логарифма заданной функции называют
логарифмической производной
этой функции.
Нахождение логарифмической производной функции называется
логарифмическим дифференцированием
.
Итак, если функция
( )
y y x
=
положительна и дифференцируема на
( )
D D y
⊆
, то её производную можно находить по
формуле (Д.2.12).
Из формулы (Д.2.11) видно, что производная показательно-степенной функции равна сумме двух слагаемых, первое из
которых получено по правилу дифференцирования показательной функции:
( )
ln
u u
a a a u
′
′
= ⋅
, а второе – по правилу диффе-
ренцирования степенной функции:
( )
1
u u u
α α−
′
′
= α ⋅
.
Пример Д.2.3. Найти производную функции
( )
sin
cos
x
y x=
.
Решение
.
( )
sin
ln ln cos
x
y x=
,
(
)
ln sin ln cos
y x x
= ⋅
,
( ) ( )
ln sin ln cos
y x x
′
′
= ⋅
,
( ) ( ) ( )
( )
1
sin ln cos sin ln cos
y x x x x
y
′
′
′
= + ⋅
,
( ) ( )
1
cos ln cos sin sin
cos
y
x x x x
y x
′
= ⋅ + ⋅ −
,
(
)
cos ln cos sin tg
y y x x x x
′
= ⋅ −
,
( ) ( )
sin
cos cos ln cos sin tg
x
y x x x x x
′
= ⋅ −
.

Страницы