Математический анализ I. Фомин В.И. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

175
условия 1) в силу следствия 15.1). Значит,
( )
g x
%
непрерывна на отрезке
[
]
0 * 0
, ( )
x x O x
δ
⊂
, дифференцируема на интервале
(
0 * 0
, ( )
x x O x
δ
⊂
&
(в силу условия 1)) и
0 *
( ) ( ) 0
g x g x
= =
% %
, ибо
* *
( ) ( ) 0
g x g x
= =
%
. Мы оказались в условиях теоремы Ролля (см.
теорему 17.5), в силу которой
(
0 *
, | ( ) 0
c x x g c
′
∃ ∈ =
%
. Но
( ) ( )
g c g c
′ ′
=
%
. Получили:
( ) 0
g c
′
=
, а это противоречит условию 3).
. Справедливость соотношения (Д.3.4) установлена.
Зафиксируем произвольное
0
( )
x O x
δ
∈
&
. Пусть, для определённости,
0
x x
>
(случай
0
x x
<
рассматривается аналогич-
но). Рассмотрим функцию вида
0
0
( ), ( ),
( )
0, .
f x x O x
f x
x x
δ
∈
=
=
&
%
(Д.3.6)
В силу условий 1), 2) функция
( )
f x
%
непрерывна в
0
( )
O x
δ
, в частности, она непрерывна на отрезке
[
]
0 0
, ( )
x x O x
δ
⊂
. В
силу условия 2) функция
( )
f x
%
дифференцируема на интервале
(
0 0
, ( )
x x O x
δ
⊂
&
. Этим же условиям удовлетворяет функция
( )
g x
%
, и, кроме того, в силу условия 3)
( ) ( ) 0
g x g x
′ ′
= ≠
%
,
(
0
,
x x x
∀ ∈
. Итак, функции
( )
f x
%
,
( )
g x
%
удовлетворяют условиям
теоремы Коши (см. теорему 17.8), в силу которой
(
0
, |
c x x
∃ ∈
0
0
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
f x f x
f c
g x g x g c
′
−
=
′
−
% %
%
% % %
или в силу (Д.3.5), (Д.3.6)
( ) 0 ( )
( ) 0 ( )
f x f c
g x g c
′
−
=
′
−
.
Получили:
( ) ( )
( ) ( )
f x f c
g x g c
′
=
′
,
0
( )
x O x
δ
∀ ∈ , (Д.3.7)
где
0
x c x
< <
(
0
x c x
< <
в случае
0
x x
<
). Заметим, что
0
c x
→ при
0
x x
→ . Используя условие 4) и совершая предельный
переход в равенстве (Д.3.7) при
0
x x
→ , получаем (Д.3.3).
Теорема 1 сохраняет силу, если в качестве предельной точки выступает
+∞
или
−∞
[6, с. 135]. Пусть, например, в ка-
честве предельной точки выступает
+∞
.
Теорема Д.3.2.
Пусть функции
( )
f x
и
( )
g x
удовлетворяют следующим условиям:
1)
( )
f x
и
( )
g x
определены и дифференцируемы на открытой полуоси
(
,a
+∞
;
2)
lim ( ) 0
x
f x
→+∞
=
,
lim ( ) 0
x
g x
→+∞
=
;
3)
( ) 0
g x
′
≠
,
(
,x a
∀ ∈ +∞
;
4) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных
( )
lim
( )
x
f x
A
g x
→+∞
′
=
′
.
Тогда
[
]
lim ( )/ ( )
x
f x g x
→+∞
∃
и
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x
f x f x
A
g x g x
→+∞ →+∞
′
= =
′
. (Д.3.8)
Утверждения, аналогичные теоремам Д.3.1 и Д.3.2, имеют место в случае, когда отношение
( ) / ( )
f x g x
представляет
собой при
0
x x
→
(
x
→ +∞
или
x
→ −∞
) неопределённость типа
∞
∞
[6, с. 137].
Теорема Д.3.3. Пусть функции
( )
f x
и
( )
g x
удовлетворяют условиям 1), 3), 4) теоремы Д.3.1 и
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
,
0
lim ( )
x x
g x
→
= ∞
(здесь под символом
∞
понимается
+∞
или
−∞
). Тогда справедлива формула (Д.3.3).
Теорема Д.3.4. Пусть функции
( )
f x
и
( )
g x
удовлетворяют условиям 1), 3), 4) теоремы Д.3.2 и
lim ( )
x
f x
→+∞
= ∞
,
lim ( )
x
g x
→+∞
= ∞
. Тогда справедлива формула (Д.3.8).
Замечание Д.3.1.
Если при раскрытии неопределенности типа
0
0
(или
∞
∞
) по правилу Лопиталя полученное отношение
производных
( ) / ( )
f x g x
′ ′
тоже представляет неопределённость указанного типа и производные
( )
f x
′
,
( )
g x
′
удовлетворяют
тем же условиям теоремы, что и исходные функции
( )
f x
,
( )
g x
, то правило Лопиталя нужно применить ещё раз (правило
Лопиталя применяют до тех пор, пока не удастся избавиться от неопределённости указанного типа).
;

Страницы