Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28
в) если все три индекса различны, то значение ε
ijk
получается из а) путем после-
довательной перестановки пары индексов и изменения знака.
Сформулированные свойства позволяют выписать шесть ненулевых компонент
тензора ε
ijk
:
εεε
231 312 123
1===, εεε
213 132 321
1===−. (27)
Подставив эти значения в определение координат вектора
!
c, получим:
233232132321231
babababac −=+=
εε
,
cabababab
2 213 1 3 231 3 1 3 1 1 3
=+=−εε , (28)
cabababab
3 312 1 2 321 3 2 1 2 2 1
=+=−εε .
Антисимметричность векторного произведения проявляется в том, что при пере-
становке координат векторов
!
a и
!
b изменяется знак координат вектора
!
c.
Отметим, что при изменении направления всех осей координат на противопо-
ложное (инверсии всех осей координат) координаты обычных векторов
!
a и
!
b изме-
няют знак:
!!
aa
→−
,
!!
bb→− . Такие векторы называются полярными. Так как в вектор-
ном произведении координаты векторов
!
a и
!
b перемножаются, то при инверсии осей
координат векторное произведение не изменяется:
!!
cc
→
. Такие векторы называются
аксиальными.
Пример 5.
Ускорение a и напряженность электрического поля E — это полярные векто-
ры, момент силы M и напряженность магнитного поля H — это аксиальные векторы.
Непосредственно из определения вытекают следующие свойства векторного
произведения:
1)
[][]
!
!!
!
ab ba,,=− — антисимметричность;
2)
[]
!!
aa, = 0 — следствие п. 1);
3)
[][]
[]
!
!
!!
!
!!
ab c ab ac,,,+= + — дистрибутивность;

Страницы