ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35
Смешанное произведение векторов
Скалярное произведение одного вектора и векторного произведения двух других
векторов называется смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведе-
ние уже использовалось нами в предыдущем разделе при обсуждении пятого свойства
векторного произведения.
В силу (21) и Определения 12 векторного произведения смешанное произведе-
ние векторов
!
a ,
!
b и
!
c можно записать в виде определителя
[]
()
!
!
!
abc
aaa
bbb
ccc
,, =
123
123
123
. (31)
Свойства смешанного произведения:
1)
[]
()
[]
()
[]
()
!
!
!
!
!! ! !
!
abc bca cab,, ,, ,,==.
Каждое произведение в этой цепочке равенств получается из предыдущего пу-
тем так называемой циклической перестановки сомножителей: abc bca cab→→, цик-
лическая перестановка сомножителей в последнем произведении возвращает нас к пер-
вому произведению.
Докажем первое равенство. По определению скалярного и векторного произве-
дений
[]
()
!
!
!
abc abc
ijkijk
ijk
,,
,,
=
=
∑
ε
1
3
. (31)
В каждом произведении суммы (31) множитель a
i
поместим на последнее ме-
сто: abc bca
ijk jk i
= , от чего произведение, естественно, не изменится. У абсолютно ан-
тисимметричного единичного тензора ε
ijk
первый индекс
i
переставим на последнее
место: εε
ijkjki
= , значение тензора не изменится, т.к. эта перестановка эквивалентна
двум перестановкам соседних индексов ijkjikjki→→, после чего знак ε
ijk
не изме-
нится. В результате всех этих перестановок получим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
