Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

36
[]
()
ε
jki j k i
ijk
bca b c a
,,
,,
=
∑
=
1
3
!
!!
,
что и требовалось доказать.
Доказательство вытекает также из того, что при перестановке двух строк опре-
делителя (31) его величина не изменяется.
2) Смешанное произведение
[]
()
!
!
!
abc,, = 0, тогда и только тогда, когда векторы
!
a ,
!
b и
!
c компланарны, т.е. лежат в одной плоскости (
!
!
!
abc=+αβ
).
Доказательство.
Если векторы
!
b и
!
c параллельны (очевидно, что
!
a ,
!
b и
!
c при этом лежат в од-
ной плоскости), то по свойствам 2 и 4 векторного произведения
[]
()
!
!
!
abc,, = 0. Далее
считаем, что
!
b и
!
c не параллельны.
Если
!
!
!
abc=+αβ
, где α и
β
— действительные числа, то
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
!
!
!
!
!
!
!
!!
!!
!
!
abcbcbcbbccbc,, ,, ,, ,,=+ = + =αβ α β 0,
т.к. по свойствам 2 и 5 векторного равны нулю оба слагаемых в последней сумме.
Если
[]
()
!
!
!
abc,, = 0, то вектор
[]
!
!
!
abc⊥ , и поэтому лежит в одной плоскости с
векторами
!
b и
!
c. Но тогда он может быть разложен по двум не параллельным, т.е. ли-
нейно независимым, векторам
!
!
!
abc=+αβ
.
Обратимся к геометрической интерпретации смешанного произведения.
На рис. 10 показаны векторы
!
a ,
!
b,
!
c и построенный на них параллелепипед.
Векторное произведение
[]
!
!
bc, в данном случае направлено вверх, а по величине равно
площади параллелограмма в основании параллелепипеда:
[
]
ϕ
sin, ⋅⋅== cbcbS
раммапараллелог
!
!
!
!
. (32)

Страницы