Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

109
7. ÊÀÑÊÀÄÍÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ
7.1. Êàñêàäíûå ìîäåëè
Âî âòîðîé ãëàâå ìû âèäåëè, íàñêîëüêî ïîëåçíûìè îêàçàëèñü ìàëîìî-
äîâûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû äëÿ ïîíèìàíèÿ ïóòåé ïåðåõîäà îò äåòåðìèíè-
ðîâàííûõ äâèæåíèé ê õàîñó. Â ýòîé ãëàâå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïðîñòåéøèìè
ìîäåëÿìè ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, ïî ñóòè, òàêæå ïðåäñòàâëÿþùèìè ñî-
áîé äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, íî îòíîñèòåëüíî âûñîêîé ðàçìåðíîñòè (íå-
ñêîëüêî äåñÿòêîâ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé).
Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ïðîñòûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé òå÷å-
íèé (òèïà ìîäåëè Ëîðåíöà äëÿ êîíâåêöèè â ïîäîãðåâàåìîì ñíèçó ñëîå æèä-
êîñòè) âñå ìîäû îïèñûâàþò ñòðóê-
òóðû áëèçêîãî ìàñøòàáà. Îñíîâ-
íûì ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáó-
ëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå øèðî-
êîãî äèàïàçîíà âîçáóæäåííûõ ìàñ-
øòàáîâ è ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó
áîëüøîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Ñïðàøèâàåòñÿ, ìîæíî ëè ïîñòðîèòü
ìàëîìîäîâóþ ìîäåëü ðàçâèòîé òóð-
áóëåíòíîñòè, êîòîðàÿ íå îãðàíè÷è-
âàåòñÿ ðàññìîòðåíèåì êðóïíîìàñ-
øòàáíîãî ïîòîêà (êàê ïîëóýìïèðè-
÷åñêèå ìîäåëè), à îïèñûâàåò êàñ-
êàäíûå ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè
ïî ñïåêòðó îò èíòåãðàëüíîãî ìàñ-
øòàáà äî äèññèïàòèâíîãî.
Èäåÿ ìîäåëåé ýòîãî òèïà, ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå «êàñêàäíûõ ìîäåëåé»
(â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñòàëî óïîòðåáëÿòüñÿ è ïðèøåäøåå ñ çàïàäà íàçâàíèå
«îáîëî÷å÷íûå ìîäåëè» - ïåðåâîä àíãëèéñêîãî òåðìèíà «shell models»), ñî-
ñòîèò â ðàññìîòðåíèè öåïî÷êè ïåðåìåííûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåò
ïóëüñàöèè ïîëÿ ñêîðîñòè îïðåäåëåííîãî ìàñøòàáà.
Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé öåëè îñü âîëíîâûõ ÷èñåë ðàçáèâàåòñÿ íà ïðî-
ãðåññèâíî ðàñøèðÿþùèåñÿ çîíû
1
||
+
<<
nn
kkk
r
,
0
kqk
n
n
= (7.1)
(ýòîò øàã ïîâòîðÿåò èäåîëîãèþ ïîñòðîåíèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé). Äà-
ëåå, äëÿ êàæäîé çîíû ââîäèòñÿ îäíà (äåéñòâèòåëüíàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ)
ïåðåìåííàÿ
n
U , êâàäðàò êîòîðîé ðàâåí ýíåðãèè âñåõ ïóëüñàöèé, çàêëþ÷åí-
Ðèñ.7.1
                                                                     109




7. ÊÀÑÊÀÄÍ Û Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ

7.1. Êàñêàäíûåìîäåëè
      Âî âòîðîé ãëàâå ìû âèäåëè, íàñêîëüêî ïîëåçíûìè îêàçàëèñü ìàëîìî-
äîâûå äèíàìè÷åñêèåñèñòåìû äëÿ ïîíèìàíèÿ ïóòåé ïåðåõîäà îò äåòåðìèíè-
ðîâàííûõ äâèæåíèé ê õàîñó. Â ýòîé ãëàâå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïðîñòåéø èìè
ìîäåëÿìè ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, ïî ñóòè, òàêæå ïðåäñòàâëÿþ ù èìè ñî-
áîé äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, íî îòíîñèòåëüíî âûñîêîé ðàçìåðíîñòè (íå-
ñêîëüêî äåñÿòêîâ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé).
      Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ïðîñòûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé òå÷å-
íèé (òèïà ìîäåëè Ëîðåíöà äëÿ êîíâåêöèè â ïîäîãðåâàåìîì ñíèçó ñëîå æèä-
êîñòè) âñå ìîäû îïèñûâàþ ò ñòðóê-
òóðû áëèçêîãî ìàñø òàáà. Îñíîâ-
íûì ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáó-
ëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ø èðî-
êîãî äèàïàçîíà âîçáóæäåííûõ ìàñ-
ø òàáîâ è ñîîòâåòñòâóþ ù åãî åìó
áîëüø îãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Ñïðàø èâàåòñÿ, ìîæíî ëè ïîñòðîèòü
ìàëîìîäîâóþ ìîäåëü ðàçâèòîé òóð-
áóëåíòíîñòè, êîòîðàÿ íå îãðàíè÷è-
âàåòñÿ ðàññìîòðåíèåì êðóïíîìàñ-
ø òàáíîãî ïîòîêà (êàê ïîëóýìïèðè-
÷åñêèå ìîäåëè), à îïèñûâàåò êàñ-
êàäíûå ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè                   Ðèñ.7.1
ïî ñïåêòðó îò èíòåãðàëüíîãî ìàñ-
ø òàáà äî äèññèïàòèâíîãî.
      È äåÿ ìîäåëåé ýòîãî òèïà, ïîëó÷èâø èõ íàçâàíèå«êàñêàäíûõ ìîäåëåé»
(â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñòàëî óïîòðåáëÿòüñÿ è ïðèø åäø åå ñ çàïàäà íàçâàíèå
«îáîëî÷å÷íûå ìîäåëè» - ïåðåâîä àíãëèéñêîãî òåðìèíà «shell models»), ñî-
ñòîèò â ðàññìîòðåíèè öåïî÷êè ïåðåìåííûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåò
ïóëüñàöèè ïîëÿñêîðîñòè îïðåäåëåííîãî ìàñø òàáà.
      Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé öåëè îñü âîëíîâûõ ÷èñåë ðàçáèâàåòñÿ íà ïðî-
ãðåññèâíî ðàñø èðÿþ ù èåñÿçîíû
                         r
                   kn <| k |< kn+ 1 ,     kn = q n k0              (7.1)

(ýòîò ø àã ïîâòîðÿåò èäåîëîãèþ ïîñòðîåíèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé). Äà-
ëåå, äëÿ êàæäîé çîíû ââîäèòñÿ îäíà (äåéñòâèòåëüíàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ)
ïåðåìåííàÿ Un , êâàäðàò êîòîðîé ðàâåí ýíåðãèè âñåõ ïóëüñàöèé, çàêëþ ÷åí-

Страницы