Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

111
(çäåñü p
r
è q
r
- âîëíîâûå âåêòîðû) è, ïîñëå óìíîæåíèÿ óðàâíåíèÿ íà
rki
e
r
r
-
,
èíòåãðèðóåì åãî ïî rd
r
.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
)k(vk)k(Pki)q(vq)qk(vi)k(v
j
q
jjkkjt
r
)
r
)
r
)
r
r
)
r
)
r
21
nr ----=
å
-
.
Ïîëüçóÿñü óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè, êîòîðîå â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå èìå-
åò âèä
0=
ii
vk , (7.5)
èñêëþ÷èì èç óðàâíåíèÿ äàâëåíèå. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì óðàâíåíèå íà
j
k è
ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
å
--=
-
q
lk
lk
)q(v)qk(v
k
kq
)k(P
r
r
)
r
r
)
r
)
2
1
r .
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì
)k(vk)q(vq)qk(v
k
kk
i)k(v
j
q
lkk
jl
ljjt
r
)
r
)
r
r
)
r
)
r
2
2
nd --
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
--=
å
. (7.6)
Ñòðóêòóðà íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî â (7.6) òàêîâà, ÷òî âî âçàèìîäåéñòâèÿõ
âñåãäà ó÷àñòâóþò òðè ìîäû Ôóðüå )k(v
r
)
r
, )q(v
r
)
r
è )qk(v
r
r
)
r
- - ýòî çíà÷èò, ÷òî
âçàèìîäåéñòâóþò òðè âîëíû, âîëíîâûå âåêòîðû êîòîðûõ îáðàçóþò òðå-
óãîëüíèê.
Ðàññìîòðèì âûáîðêó âîëíîâûõ ÷èñåë, òàêèõ, ÷òî
n
n
kk 2||
0
=
r
è âûáåðåì
èç ñóììû (7.6) òîëüêî ñëàãàåìûå, îïèñûâàþùèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ìîä. Íàáîð âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé íà òàêîì íàáîðå âåêòîðîâ îã-
ðàíè÷åí, òàê êàê èç íèõ ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî ðàâíîáåäðåííûå òðå-
óãîëüíèêè, â êîòîðûõ îñíîâàíèå ìåíüøå èëè ðàâíî áîêîâûì ñòîðîíàì
(âîçìîæåí, êîíå÷íî, è ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, íî îí ñîîòâåòñòâóåò
âçàèìîäåéñòâèÿì âíóòðè äàííîé îêòàâû âîëíîâûõ ÷èñåë, êîòîðûå â ðàìêàõ
äàííûõ ìîäåëåé íå ðàññìàòðèâàþòñÿ), è ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, êîãäà äâå áî-
êîâûå ñòîðîíû âäâîå ìåíüøå îñíîâàíèÿ, è òðåóãîëüíèê âûðîæäàåòñÿ â
ïðÿìóþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì çà êàñêàäíûå ïåðåìåííûå ñîîò-
âåòñòâóþùèå ãàðìîíèêè Ôóðüå ( )k(vU
nn
)
r
= ), òî â ìàòðèöå
nml
T óðàâíåíèÿ
(7.2) îñòàíóòñÿ òîëüêî äèàãîíàëüíûå ÷ëåíû
nmm
T è
mnm
T ( ,......2,1,1
+
+
-
=
nnnm ).
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ëèøü ëî-
êàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, òî åñòü âçàèìîäåéñòâèÿìè áëèæàéøèõ ñîñåäåé â
öåïî÷êå. Òîãäà îäíà èç âîçìîæíûõ ôîðì ìîäåëüíûõ óðàâíåíèé åñòü
                                                                                                             111


                                                                                                             rr
        r     r
(çäåñü p è q - âîëíîâûå âåêòîðû) è, ïîñëå óìíîæåíèÿ óðàâíåíèÿ íà e - ikr ,
                    r
èíòåãðèðóåì åãî ïî dr .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
                        ) r               ) r r ) r                            ) r           ) r
                     ¶t v j ( k ) = - i å vk ( k - q )qk v j ( q ) - ir - 1k j P( k ) - nk 2 v j ( k ) .
                                       r
                                       q



Ï îëüçóÿñü óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè, êîòîðîå â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå èìå-
åòâèä

                                                k i vi = 0 ,                                               (7.5)

èñêëþ ÷èì èç óðàâíåíèÿ äàâëåíèå. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì óðàâíåíèå íà k j è
ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

                                            ) r              qk k l ) r r ) r
                                      r - 1 P( k ) = -   å
                                                         r
                                                         q    k2
                                                                    vk ( k - q )vl ( q ) .


Ï îñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì

                     ) r                æ     kl k j   ö) r r ) r                   2)
                                                                                           r
                  ¶t v j ( k ) = - i å ççdlj - 2       ÷v
                                                       ÷k ( k - q )q  v
                                                                     k l ( q ) - nk  v j ( k ).            (7.6)
                                     q è       k       ø
                                      r




Ñòðóêòóðà íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî â (7.6)         òàêîâà, ÷òî   âî âçàèìîäåéñòâèÿõ
                                     )r r      )r r     )r r r
âñåãäà ó÷àñòâóþ ò òðè ìîäû Ô óðüå v ( k ) , v ( q ) è v ( k - q ) - ýòî çíà÷èò, ÷òî
âçàèìîäåéñòâóþ ò òðè âîëíû, âîëíîâûå âåêòîðû êîòîðûõ îáðàçóþò òðå-
óãîëüíèê.                                                        r
       Ðàññìîòðèì âûáîðêó âîëíîâûõ ÷èñåë, òàêèõ, ÷òî | k n |= k 0 2 n è âûáåðåì
èç ñóììû (7.6) òîëüêî ñëàãàåìûå, îïèñûâàþ ù èå âçàèìîäåéñòâèÿ ñîîòâåòñò-
âóþ ù èõ ìîä. Í àáîð âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé íà òàêîì íàáîðå âåêòîðîâ îã-
ðàíè÷åí, òàê êàê èç íèõ ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî ðàâíîáåäðåííûå òðå-
óãîëüíèêè, â êîòîðûõ îñíîâàíèå ìåíüø å èëè ðàâíî áîêîâûì ñòîðîíàì
(âîçìîæåí, êîíå÷íî, è ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, íî îí ñîîòâåòñòâóåò
âçàèìîäåéñòâèÿì âíóòðè äàííîé îêòàâû âîëíîâûõ ÷èñåë, êîòîðûå â ðàìêàõ
äàííûõ ìîäåëåé íå ðàññìàòðèâàþ òñÿ), è ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, êîãäà äâå áî-
êîâûå ñòîðîíû âäâîå ìåíüø å îñíîâàíèÿ, è òðåóãîëüíèê âûðîæäàåòñÿ â
ïðÿìóþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì çà êàñêàäíûå ïåðåìåííûå ñîîò-
                                        )
                                        r
âåòñòâóþ ù èå ãàðìîíèêè Ô óðüå ( U n = v ( k n ) ), òî â ìàòðèöå Tnml óðàâíåíèÿ
(7.2) îñòàíóòñÿ òîëüêî äèàãîíàëüíûå ÷ëåíû Tnmm è Tmnm ( m = n - 1, n + 1, n + 2,...... ).
        ïðîñòåéø åì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ëèø ü ëî-
êàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, òî åñòü âçàèìîäåéñòâèÿìè áëèæàéø èõ ñîñåäåé â
öåïî÷êå. Òîãäà îäíà èçâîçìîæíûõ ôîðì ìîäåëüíûõ óðàâíåíèé åñòü

Страницы