Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

112
nnnnnn
UkUbUUkU
2
1
2
1
)( n--=
+-
&
. (7.7)
Öåïî÷êà óðàâíåíèé (7.7) è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàñêàäíóþ ìîäåëü Íîâèêîâà
- Äåñíÿíñêîãî
16
- ïåðâóþ êàñêàäíóþ ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè. Óðàâíåíèÿ ñî-
äåðæàò îäíó êîíñòàíòó b , êîòîðàÿ âûáèðàåòñÿ, èñõîäÿ èç çàêîíà ñîõðàíå-
íèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âñåé ñèñòåìû åñòü
åå
==
2
2
1
nn
UEE . (7.8)
Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàòèâíîãî ñëàãàåìîãî ñèñ-
òåìà óðàâíåíèé (7.7) ñîõðàíÿëà ýíåðãèþ, òî èç ýòîãî óñëîâèÿ ëåãêî íàõî-
äèòñÿ çíà÷åíèå êîíñòàíòû: 2
=
b . Àíàëîãîì ýíñòðîôèè â êàñêàäíîé ìîäåëè
ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà
2
2
2
1
nn
Uk
å
=W . (7.9)
Òðåáîâàíèå ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè (7.9) ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ êîíñòàíòû
8
=
b .
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ìîäåëü (7.7) ìîæåò îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿòü
òîëüêî îäíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (7.7) èìåþò ñòàöèîíàðíûå
ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íàëè÷èþ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà. Ýòè ðåøå-
íèÿ ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ ïðè ìàëîé âÿçêîñòè (áîëüøîì ÷èñëå Ðåéíîëüäñà)
è äîëæíû èìåòü ñòåïåííîé âèä
a
nn
kUU
0
= . (7.10)
Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî äëÿ
n
n
kk 2
0
= ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå âèäà (7.10) âîç-
íèêàåò ïðè
3
log
2
b
-=a . (7.11)
Ïðè 2
=
b (ñîõðàíÿåìîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ) ýòî äàåò ðåøåíèå
3
0
2
n
n
UU
-
= , à ïðè 8
=
b (ñîõðàíÿåòñÿ ýíñòðîôèÿ) ðåøåíèå åñòü
n
n
UU
-
= 2
0
. Ïåð-
âîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò êîëìîãîðîâñêîìó ñïåêòðó äëÿ èíåðöèîííîãî
èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè
3/5
~)(
-
kkE , à âòîðîå - ñïåêòðó Êðåé÷íàíà
3
~)(
-
kkE äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ðåàëèçóþùåìó-
ñÿ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ñïåêòð ýíåðãèè ïîä÷è-
íÿåòñÿ ñòåïåííîìó çàêîíó
l
kkE ~)( , òî ýíåðãèÿ îêòàâû
n
1
~)(
1
+
ò
+
=
l
n
k
k
n
kdkkEE
n
n
, (7.12)
16
Äåñíÿíñêèé Â.Í., Íîâèêîâ Å.À. Ìîäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ // Ïðè-
êëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, 1974. Ò.38. N.3. Ñ.507-513.
112



                                   U&n = k n (U n2- 1 - bU nU n + 1 ) - nk 2U n .              (7.7)

Ö åïî÷êà óðàâíåíèé (7.7) è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàñêàäíóþ ìîäåëü Í îâèêîâà
- Äåñíÿíñêîãî16 - ïåðâóþ êàñêàäíóþ ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè. Óðàâíåíèÿ ñî-
äåðæàò îäíó êîíñòàíòó b , êîòîðàÿ âûáèðàåòñÿ, èñõîäÿ èç çàêîíà ñîõðàíå-
íèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âñåé ñèñòåìû åñòü

                                                    1
                                   E = å En =         å U n2 .                                 (7.8)
                                                    2

 Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàòèâíîãî ñëàãàåìîãî ñèñ-
òåìà óðàâíåíèé (7.7) ñîõðàíÿëà ýíåðãèþ, òî èç ýòîãî óñëîâèÿ ëåãêî íàõî-
äèòñÿ çíà÷åíèå êîíñòàíòû: b = 2 . Àíàëîãîì ýíñòðîôèè â êàñêàäíîé ìîäåëè
ÿâëÿåòñÿâåëè÷èíà
                                         1
                                           å kn U n .                                          (7.9)
                                               2
                                   W=
                                                   2

                                         2

Òðåáîâàíèå ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè (7.9) ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ êîíñòàíòû
b =8.
      Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ìîäåëü (7.7) ìîæåò îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿòü
òîëüêî îäíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (7.7) èìåþò ñòàöèîíàðíûå
ðåø åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþ ù èå íàëè÷èþ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà. Ýòè ðåø å-
íèÿ ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ ïðè ìàëîé âÿçêîñòè (áîëüø îì ÷èñëå Ðåéíîëüäñà)
è äîëæíû èìåòüñòåïåííîé âèä
                                         a
                              U n = U 0kn .                       (7.10)

Í åòðóäíî óâèäåòü, ÷òî äëÿ k n = k 0 2 n ñòàöèîíàðíîå ðåø åíèå âèäà (7.10) âîç-
íèêàåòïðè
                                                   log 2 b
                                          a =-             .                                  (7.11)
                                                     3

Ï ðè b = 2 (ñîõðàíÿåìîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ) ýòî äàåò ðåø åíèå
              n
          -
U n = U 0 2 , à ïðè b = 8 (ñîõðàíÿåòñÿ ýíñòðîôèÿ) ðåø åíèå åñòü U n = U 0 2 - n . Ï åð-
              3


âîå ðåø åíèå ñîîòâåòñòâóåò êîëìîãîðîâñêîìó ñïåêòðó äëÿ èíåðöèîííîãî
èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè E (k ) ~ k - 5 / 3 , à âòîðîå - ñïåêòðó Êðåé÷íàíà
E (k ) ~ k - 3 äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ðåàëèçóþ ù åìó-
ñÿ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ñïåêòð ýíåðãèè ïîä÷è-
íÿåòñÿñòåïåííîìó çàêîíó E (k ) ~ k l , òî ýíåðãèÿ îêòàâû n
                                                  kn + 1

                                                   òE (k )dk ~ k
                                                                        l+ 1
                                           En =                     n          ,              (7.12)
                                                   kn

16
  Äåñíÿíñêèé Â.Í ., Í îâèêîâ Å.À. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ // Ï ðè-
êëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, 1974. Ò.38. N.3. Ñ.507-513.

Страницы