Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 114 стр.

114



      ìîäåëè òèïà (7.15) â êàæäîì âçàèìîäåéñòâèè ó÷àñòâóþò òðè ñîñåä-
íèõ ÷ëåíà öåïî÷êè ïåðåìåííûõ Un . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà Tnml íå ñî-
äåðæèò äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ - ýòî íå ñëó÷àéíî, òàê êàê äèàãîíàëüíûå
÷ëåíû íå ìîãóò îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èòü ñîõðàíåíèå äâóõ êâàäðàòè÷íûõ
âåëè÷èí.
     Óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äàåò óðàâíåíèå

          dt å En = å UnU&n = ..........+
             n         n

                   + kn- 1 (aUn- 3Un- 2Un- 1 + bUn- 2Un- 1Un + cUn- 1UnUn+ 1 ) +
                   + kn (aUn- 2Un- 1Un + bUn- 1UnUn+ 1 + cUnUn+ 1Un+ 2 ) +             (7.16)
                   + kn+ 1 (aUn- 1UnUn+ 1 + bUnUn+ 1Un+ 2 + cUn+ 1Un+ 2Un+ 3 ) +
                   +       ............... = 0,

êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ðàâíà íóëþ ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíà-
êîâûõ êîìáèíàöèÿõ ïåðåìåííûõ (â óðàâíåíèè ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ òðîéêà
÷ëåíîâ âûäåëåíà ïîä÷åðêèâàíèåì). Òîãäà óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè åñòü

                                      k n - 1c + k n b + k n + 1 a = 0 ,               (7.17)

à óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äàåò

                                      k n- 1 c + k n b + k n+ 1 a = 0 .                (7.18)
                                           3         3          3




Îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. Ï îëàãàÿ, íàïðèìåð,
c = 1 , ïîëó÷àåì
                                            1                               5
                                      a=      ,                       b=-     .        (7.19)
                                           16                               8

     Óðàâíåíèå (7.15) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåø åíèÿ âèäà (7.10). Ï îä-
ñòàâëÿÿ (7.10) â (7.15) è îáîçíà÷àÿ 2 3a = x , ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå,
êîðíè êîòîðîãî ( x1 = 1 / 2 , x2 = 1 / 8 ) äàþ ò a 1 = - 1 / 3 , a 2 = - 1 . Ýòè ðåø åíèÿ ñîîò-
âåòñòâóþò äâóì ñïåêòðàëüíûì çàêîíàì, ïðåäñêàçûâàåìûì äëÿ äâóìåðíîé
òóðáóëåíòíîñòè ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè.
     Óïîìÿíåì è òðåòèé ïóòü ïîëó÷åíèÿ êàñêàäíûõ ìîäåëåé, êîòîðûé îñ-
íîâàí íà ðåäóêöèè èåðàðõè÷åñêîé ìîäåëè. È äåÿ ýòîãî ïîäõîäà ñîñòîèò âî
ââåäåíèè îäíîé àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêè äëÿ âñåõ ôóíêöèé âûäåëåí-
íîãî ÿðóñà (ìàñø òàáà) è âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû íåëèíåéíûõ âçàè-
ìîäåéñòâèé íà îñíîâå îöåíêè ñðåäíåãî ðåçóëüòàòà âçàèìîäåéñòâèÿ òðåõ
âèõðåé ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìàñø òàáîâ ïðè èõ ðàçëè÷íîì âçàèìíîì ïîëîæå-
íèè. Ï ðåèìóù åñòâî òàêîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå òðåáóåòñÿ èñêóñ-
ñòâåííî îãðàíè÷èâàòüñÿðàññìîòðåíèåì òîëüêî ëîêàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé.