Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

115
Êàñêàäíàÿ ìîäåëü òàêîãî òèïà áûëà âïåðâûå ïîñòðîåíà â ðàáîòå
19
äëÿ äâó-
ìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ïðèâëåêàòåëüíà íàëè-
÷èåì âòîðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, êîòîðûé
ïîçâîëÿåò èçáåæàòü íåîïðåäåëåííîñòè ïðè âûâîäå óðàâíåíèé). Óðàâíåíèÿ
ìîäåëè èìåþò âèä
nn
J
j
jnjnjnjnnnjnnjnnnjnnjnnn
UkUUTUUÒUUTU
2
1
11,,11,,111,1,
)( n-++=
å
=
+++++++-+-------
&
(7.20)
è ïðè 1
=
J ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè (7.15). Íàëè÷èå äâóõ çàêîíîâ ñîõðàíå-
íèÿ ïîçâîëÿåò ïåðåïèñàòü (7.20) â âèäå
,
24
23
22
12
2
1
2
1
111
32
2
nnjnjn
j
j
J
j
njnnjn
j
j
jnn
UkUU
UUUUTkU
n-
÷
÷
ø
ö
-
×
+
++
ç
ç
è
æ
-
-
=
+++
-
=
+----
+
å
&
(7.21)
ñîäåðæàùåì òîëüêî âåëè÷èíû
1,,0 jj
TT
-
= .
Ïåðâûå æå ïîïûòêè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé
êàñêàäíûõ óðàâíåíèé ïîêàçàëè, ÷òî ñòàöèî-
íàðíûå ðåøåíèÿ íå óñòîé÷èâû.  êà÷åñòâå
ïðèìåðà, íà ðèñ.7.2 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ÷èñ-
ëåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.21) ñ
çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è íóëåâîé
âÿçêîñòüþ. Íà ãðàôèêå ïîêàçàíû çíà÷åíèÿ ïå-
ðåìåííûõ
n
U (íà êàðòèíêå ñòîèò îáîçíà÷åíèå
N
A ) äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.  íà-
÷àëüíûé ìîìåíò ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè èìååò
ìàêñèìóì íà ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñøòàáàõ (êðè-
âàÿ à). Êðèâàÿ á ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó âðåìå-
íè, êîãäà â ìåëêîìàñøòàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà
çàêàí÷èâàåòñÿ óñòàíîâëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
n
n
U
-
2~ , îòâå÷àþùåãî ñïåêòðó
3
~)(
-
kkE . Êðè-
âàÿ â ôèêñèðóåò íà÷àëî ðàçâèòèÿ íåóñòîé÷èâî-
ñòè, íà÷èíàþùåéñÿ íà ìàëûõ ìàñøòàáàõ. Ïî-
ñëåäíÿÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ê ìîìåíòó, êî-
ãäà íà áîëüøèõ ìàñøòàáàõ óñòàíàâëèâàåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèå âèäà
3/
2~
n
n
U
-
(
3/5
~)(
-
kkE ), íåóñ-
òîé÷èâîñòü äîñòèãàåò ãðàíèöû äâóõ èíòåðâàëîâ.
19
Ôðèê Ï.Ã. Èåðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè // Ìàãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà. 1983. N.1.
C.60-66.
Ðèñ.7.2
                                                                                                                                                                   115



Êàñêàäíàÿ ìîäåëü òàêîãî òèïà áûëà âïåðâûå ïîñòðîåíà â ðàáîòå19 äëÿ äâó-
ìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ïðèâëåêàòåëüíà íàëè-
÷èåì âòîðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, êîòîðûé
ïîçâîëÿåò èçáåæàòü íåîïðåäåëåííîñòè ïðè âûâîäå óðàâíåíèé). Óðàâíåíèÿ
ìîäåëè èìåþ ò âèä
                      J
             U&n = å (Tn ,n -                          U n - 1 + Òn , n -          U n - j U n + 1 + Tn , n +                                    ) - nk n U n   (7.20)
                                                                                                                                                        2
                                           U n-
                                j - 1, n - 1       j- 1                     j ,n + 1                                       U n + jU n +
                                                                                                                j ,n + j + 1              j+ 1
                     j =1



è ïðè J = 1 ñîâïàäàþ ò ñ óðàâíåíèÿìè (7.15). Í àëè÷èå äâóõ çàêîíîâ ñîõðàíå-
íèÿ ïîçâîëÿåò ïåðåïèñàòü (7.20) â âèäå

               J
                   æ 22 j - 1
     U&n = kn å Tj ç
                   ç 2 2 j + 3 - 2 U n-            Un- 1 + Un- jUn+ 1 +
                                                j- 1
              j =1 è
                                                                                               (7.21)
                 3 ×2 j                             ö
                                               j+ 1 ÷
                                                           2
              +            Un+ jUn+                 ÷ - nkn Un ,
                4 - 2- 2 j                          ø

ñîäåðæàù åì òîëüêî âåëè÷èíû T j = T0, - j ,1 .
        Ï åðâûå æå ïîïûòêè ÷èñëåííûõ ðåø åíèé
êàñêàäíûõ óðàâíåíèé ïîêàçàëè, ÷òî ñòàöèî-
íàðíûå ðåø åíèÿ íå óñòîé÷èâû.  êà÷åñòâå
ïðèìåðà, íà ðèñ.7.2 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ÷èñ-
ëåííîãî ðåø åíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.21) ñ
çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è íóëåâîé
âÿçêîñòüþ. Í à ãðàôèêå ïîêàçàíû çíà÷åíèÿ ïå-
ðåìåííûõ U n (íà êàðòèíêå ñòîèò îáîçíà÷åíèå
AN ) äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.  íà-
÷àëüíûé ìîìåíò ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè èìååò
ìàêñèìóì íà ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ (êðè-
âàÿ à). Êðèâàÿ á ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó âðåìå-
íè, êîãäà â ìåëêîìàñø òàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà
çàêàí÷èâàåòñÿ óñòàíîâëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
U n ~ 2 - n , îòâå÷àþ ù åãî ñïåêòðó E (k ) ~ k - 3 . Êðè-
âàÿ â ôèêñèðóåò íà÷àëî ðàçâèòèÿ íåóñòîé÷èâî-
ñòè, íà÷èíàþ ù åéñÿ íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ. Ï î-
ñëåäíÿÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ê ìîìåíòó, êî-
ãäà íà áîëüø èõ ìàñø òàáàõ óñòàíàâëèâàåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèå âèäà U n ~ 2 - n / 3 ( E (k ) ~ k - 5 / 3 ), íåóñ-                                                                          Ðèñ.7.2
òîé÷èâîñòü äîñòèãàåò ãðàíèöû äâóõ èíòåðâàëîâ.

19
  Ô ðèê Ï .Ã. È åðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè // Ì àãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà. 1983. N.1.
C.60-66.

Страницы