Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 117 стр.

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ПНИПУ | Пермь

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117
ñóÿñü îáû÷íîé òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòüþ, àâòîðû âûáðàëè äëÿ ýòîãî
ïàðàìåòðà çíà÷åíèå 2/1
=
e
. Ïðè 4/5
=
e
óðàâíåíèÿ (7.22) ñîâïàäàþò ñ ìîäå-
ëüþ Ãëåäçåðà (7.15). Ýòà ìîäåëü èçâåñòíà ïîä èìåíåì GOY (Gledzer-
Ohkitani-Yamada) è ÿâëÿåòñÿ íà ñåãîäíÿ íàèáîëåå èññëåäóåìîé êàñêàäíîé
ìîäåëüþ òóðáóëåíòíîñòè.
Ñâîéñòâà ýòîé ìîäåëè îáñóäèì áîëåå ïîäðîáíî. Ðàññìîòðèì êâàäðà-
òè÷íóþ âåëè÷èíó
å
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n
n
n
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è çàïèøåì óñëîâèå åå ñîõðàíåíèÿ
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n
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&&
Ïðè âûáðàííîì ðàçáèåíèè
(
)
n
n
k 2= óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ñïðàâåäëèâî
óðàâíåíèå
0)1(1
2
=-+- zz ee ,
èìåþùåå äâà êîðíÿ
.
1
1
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=
e
z
z
Ïåðâûé êîðåíü íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà
e
è ñîîòâåòñòâóåò ñîõðàíåíèþ
ýíåðãèè (
å
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2
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UEW ). Âòîðîé êîðåíü ñîîòâåòñòâóåò êâàäðàòè÷íîé âåëè-
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å
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2
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n
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UW e , êîòîðàÿ èìååò ðàçëè÷íûé ñìûñë ïðè 1
>
e
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ïåðâîì ñëó÷àå êâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí-
íîé è ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå
å
=W=
2
2
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nn
UkW
l
, (7.23)
ãäå
|1|log
2
--= el . (7.24)
Âåëè÷èíà (7.23) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îáîáùåííàÿ ýíñòðîôèÿ (îíà
ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé ýíñòðîôèåé ïðè 4/5
=
e
). Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà 1
<
e
,
ñîõðàíÿåòñÿ âåëè÷èíà
å
-==
2
2
||)1(
nn
n
UkHW
l
(7.25)
ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, òàêæå îïðåäåëÿåìûì ïî ôîðìóëå (7.24). Âàæíî îò-
ìåòèòü, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå çíàêîïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà. Åå íàçû-
âàþò îáîáùåííîé ñïèðàëüíîñòüþ, òàê êàê ñîõðàíÿåìûìè çíàêîïåðåìåí-
íûìè êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè â ãèäðîäèíàìèêå ÿâëÿþòñÿ èìåííî ñïè-
ðàëüíîñòè (ïîìèìî óïîìèíàâøåéñÿ â ãëàâå 4 ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëü-
                                                                                                                    117



ñóÿñü îáû÷íîé òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòüþ , àâòîðû âûáðàëè äëÿ ýòîãî
ïàðàìåòðà çíà÷åíèå e = 1 / 2 . Ï ðè e = 5 / 4 óðàâíåíèÿ (7.22) ñîâïàäàþò ñ ìîäå-
ëüþ Ãëåäçåðà (7.15). Ýòà ìîäåëü èçâåñòíà ïîä èìåíåì GOY (Gledzer-
Ohkitani-Yamada) è ÿâëÿåòñÿ íà ñåãîäíÿ íàèáîëåå èññëåäóåìîé êàñêàäíîé
ìîäåëüþ òóðáóëåíòíîñòè.
     Ñâîéñòâà ýòîé ìîäåëè îáñóäèì áîëåå ïîäðîáíî. Ðàññìîòðèì êâàäðà-
òè÷íóþ âåëè÷èíó
                                                      W = å z n | U n |2
                                                                n

è çàïèø åì óñëîâèå åå ñîõðàíåíèÿ

                          (
             W& = å z n U n*U&n + ê.ñ. =    )
                   n

                             æ                 e          e- 1                 ö
               = ........ + içk n - 1 z n - 1 - k n z n +      k n + 1 z n + 1 ÷U n*- 1U n*U n*+ 1 + ....... = 0.
                             è                 2           4                   ø

Ï ðè âûáðàííîì ðàçáèåíèè (k n = 2 n ) óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ñïðàâåäëèâî
óðàâíåíèå
                            1 - ez + (e - 1) z 2 = 0 ,
èìåþ ù ååäâà êîðíÿ
                                                      z1 = 1,
                                                              1
                                                      z2 =        .
                                                             e- 1

Ï åðâûé êîðåíü íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà e è ñîîòâåòñòâóåò ñîõðàíåíèþ
ýíåðãèè ( W1 = E = å | U n | 2 ). Âòîðîé êîðåíü ñîîòâåòñòâóåò êâàäðàòè÷íîé âåëè-
÷èíå W2 = å (e - 1) - n | U n | 2 , êîòîðàÿ èìååò ðàçëè÷íûé ñìûñë ïðè e > 1 è e < 1 . Â
ïåðâîì ñëó÷àå êâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí-
íîé è ìîæåòáûòü ïåðåïèñàíà â âèäå
                                         W2 = W = å k n | U n | 2 ,
                                                           l
                                                                               (7.23)
ãäå
                                         l = - log 2 | e - 1 | .               (7.24)

Âåëè÷èíà (7.23) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îáîáù åííàÿ ýíñòðîôèÿ (îíà
ñîâïàäàåòñîáû÷íîé ýíñòðîôèåé ïðè e = 5 / 4 ). Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà e < 1 ,
ñîõðàíÿåòñÿâåëè÷èíà
                            W 2 = H = å (- 1) n k n | U n | 2
                                                   l
                                                                     (7.25)

ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, òàêæå îïðåäåëÿåìûì ïî ôîðìóëå (7.24). Âàæíî îò-
ìåòèòü, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå çíàêîïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà. Åå íàçû-
âàþ ò îáîáù åííîé ñïèðàëüíîñòüþ , òàê êàê ñîõðàíÿåìûìè çíàêîïåðåìåí-
íûìè êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè â ãèäðîäèíàìèêå ÿâëÿþ òñÿ èìåííî ñïè-
ðàëüíîñòè (ïîìèìî óïîìèíàâø åéñÿ â ãëàâå 4 ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëü-

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