Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

118
íîñòè, â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå âàæíóþ ðîëü èãðàþò ìàãíèòíàÿ ñïè-
ðàëüíîñòü è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü). Ïðè 2/1
=
e
ðàçìåðíîñòü ýòîé âå-
ëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíîñòè. Ëþ-
áîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî ñàì ôàêò íàëè÷èÿ ýòîãî èíòåãðàëà â ñèñòåìå óðàâ-
íåíèé (7.22) áûë îáíàðóæåí çíà÷èòåëüíî ïîçæå ðàáîòû Îõèòàíè è ßìàäû,
â êîòîðîé èìåííî ýòî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà áûëî âûáðàíî, ïî-âèäèìîìó,
ñëó÷àéíî. Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî òîëüêî ïðè ýòîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà
e
è
äîñòèãàåòñÿ òî çàìå÷àòåëüíîå ñîâïàäåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìîäåëè è
ðåàëüíîé òóðáóëåíòíîñòè, êîòîðîå ïðèâëåêëî øèðîêèé èíòåðåñ ê êàñêàä-
íûì ìîäåëÿì.
Ñèñòåìà (7.22) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿ âèäà
a
nn
kUU
0
= , çà-
âèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà
e
. Ïîäñòàâëÿÿ (7.10) â (7.22) è îáîçíà÷àÿ x=
a3
2 , ëåã-
êî ïîëó÷àåì èñêîìûå ðåøåíèÿ
.
2
1
log
3
1
,
3
1
22
1
-
=
-=
e
a
a
(7.26)
Ïåðâîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò êîëìîãîðîâñêîìó ñïåêòðó
3/5-
k è ïðè-
ñóòñòâóåò â ñèñòåìå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà. ×èñëåííûå èññëåäîâà-
íèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.22) ïîêàçàëè, ÷òî ïðè 384.0
1
=< ee êîëìîãîðîâ-
ñêîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ôîêóñîì ñèñòåìû. Ïðè
1
ee = èìååò ìå-
ñòî áèôóðêàöèÿ Õîïôà, à ïðè 395.0
2
== ee ïðîèñõîäèò íîâàÿ áèôóðêàöèÿ,
ïîñëå êîòîðîé â ñèñòåìå âîçíèêàåò õàîñ.
Åùå ðàç îòìåòèì, ÷òî òî÷êà 1
=
e
ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé íà îñè çíà-
÷åíèé ïàðàìåòðà.  ýòîé òî÷êå ìåíÿåòñÿ òèï èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, à ïðè
ïðèáëèæåíèè ê íåé èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ âåëè÷èíà (7.23) èëè
(7.25) ñ ïîêàçàòåëåì
¥
®
l
. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íè î êàêîì êàñêàäå â ñèñòåìå íå
ìîæåò áûòü è ðå÷è. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â òî÷êå 2
=
e
îáà ðåøåíèÿ (7.26)
ñîâïàäàþò, à åäèíñòâåííûì èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ ((7.23)
ñîâïàäàåò ñ ýíåðãèåé).
118



íîñòè, â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå âàæíóþ ðîëü èãðàþ ò ìàãíèòíàÿ ñïè-
ðàëüíîñòü è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü). Ï ðè e = 1 / 2 ðàçìåðíîñòü ýòîé âå-
ëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíîñòè. Ëþ -
áîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî ñàì ôàêò íàëè÷èÿ ýòîãî èíòåãðàëà â ñèñòåìå óðàâ-
íåíèé (7.22) áûë îáíàðóæåí çíà÷èòåëüíî ïîçæå ðàáîòû Îõèòàíè è ßìàäû,
â êîòîðîé èìåííî ýòî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà áûëî âûáðàíî, ïî-âèäèìîìó,
ñëó÷àéíî. Í èæå ìû óâèäèì, ÷òî òîëüêî ïðè ýòîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà e è
äîñòèãàåòñÿ òî çàìå÷àòåëüíîå ñîâïàäåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìîäåëè è
ðåàëüíîé òóðáóëåíòíîñòè, êîòîðîå ïðèâëåêëî ø èðîêèé èíòåðåñ ê êàñêàä-
íûì ìîäåëÿì.
     Ñèñòåìà (7.22) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåø åíèÿ âèäà U n = U 0 k n a , çà-
âèñÿù èõ îò ïàðàìåòðà e . Ï îäñòàâëÿÿ (7.10) â (7.22) è îáîçíà÷àÿ 2 3a = x , ëåã-
êî ïîëó÷àåì èñêîìûå ðåø åíèÿ
                                         1
                                a1 = -     ,
                                         3
                                                                          (7.26)
                                     1      e- 1
                                a 2 = log 2      .
                                     3       2

      Ï åðâîå ðåø åíèå ñîîòâåòñòâóåò êîëìîãîðîâñêîìó ñïåêòðó k - 5 / 3 è ïðè-
ñóòñòâóåò â ñèñòåìå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà. ×èñëåííûå èññëåäîâà-
íèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.22) ïîêàçàëè, ÷òî ïðè e < e1 = 0.384 êîëìîãîðîâ-
ñêîå ðåø åíèå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ôîêóñîì ñèñòåìû. Ï ðè e = e1 èìååò ìå-
ñòî áèôóðêàöèÿ Õîïôà, à ïðè e = e2 = 0.395 ïðîèñõîäèò íîâàÿ áèôóðêàöèÿ,
ïîñëå êîòîðîé â ñèñòåìå âîçíèêàåòõàîñ.
      Åù å ðàç îòìåòèì, ÷òî òî÷êà e = 1 ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé íà îñè çíà-
÷åíèé ïàðàìåòðà.  ýòîé òî÷êå ìåíÿåòñÿ òèï èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, à ïðè
ïðèáëèæåíèè ê íåé èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ âåëè÷èíà (7.23) èëè
(7.25) ñ ïîêàçàòåëåì l ® ¥ . Ýòî çíà÷èò, ÷òî íè î êàêîì êàñêàäå â ñèñòåìå íå
ìîæåò áûòü è ðå÷è. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â òî÷êå e = 2 îáà ðåø åíèÿ (7.26)
ñîâïàäàþò, à åäèíñòâåííûì èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ ((7.23)
ñîâïàäàåò ñýíåðãèåé).

Страницы