Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

110
íûõ â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè âîëíîâîãî ïðîñòðàíñòâà (ðèñ.7.1). Âåëè÷è-
íó
n
U íàçûâàþò èíîãäà êîëëåêòèâíîé ïåðåìåííîé äëÿ âñåõ ïóëüñàöèé, ëå-
æàùèõ â âûäåëåííîì äèàïàçîíå âîëíîâûõ ÷èñåë.
Äëÿ ïåðåìåííûõ
n
U òðåáóåòñÿ íàïèñàòü óðàâíåíèÿ, êîòîðûå áóäóò
ìîäåëèðîâàòü «áàçîâûå ñâîéñòâà» óðàâíåíèé äâèæåíèÿ æèäêîñòè (êàê ïðà-
âèëî, ðå÷ü èäåò îá óðàâíåíèÿõ Íàâüå - Ñòîêñà äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè).
Ïîä «áàçîâûìè» ñâîéñòâàìè ïîíèìàåòñÿ, êàê ìèíèìóì, âûïîëíåíèå çàêî-
íîâ ñîõðàíåíèÿ è êâàäðàòè÷íàÿ íåëèíåéíîñòü óðàâíåíèé. Îáùèé âèä êàñ-
êàäíûõ óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
nnnlmnmlnt
fUKUUTUd +-=
å
. (7.2)
Êîíêðåòíûå ìîäåëè îòëè÷àþòñÿ, â îñíîâíîì, âèäîì ìàòðèöû íåëèíåéíûõ
âçàèìîäåéñòâèé
nml
T . Ïàðàìåòð
q
, îïðåäåëÿþùèé øèðèíó îòäåëüíîé çîíû,
êàê ïðàâèëî, âûáèðàþò ðàâíûì äâóì, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ ïðî-
ñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû. Äèññèïàòèâíîå ñëàãàåìîå çàïè-
ñûâàåòñÿ â âèäå
nnnn
UkUK
2
= , ïîâòîðÿþùåì âèä äèññèïàòèâíîãî ÷ëåíà
óðàâíåíèÿ Íàâüå - Ñòîêñà â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå, à ïåðåìåííàÿ
n
f îïèñûâà-
åò äåéñòâèå âíåøíèõ ñèë â çàäàííîé îêòàâå âîëíîâûõ ÷èñåë.
7.2. Ìîäåëü Íîâèêîâà - Äåñíÿíñêîãî
Êàñêàäíûå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè ìîäåëÿìè òóðáóëåíòíî-
ñòè, òàê êàê îïèñûâàþò ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó. Ïîêàæåì,
êàê ïîëó÷èòü ïðîñòóþ êàñêàäíóþ ìîäåëü ñ ïîìîùüþ ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèÿ
óðàâíåíèé Íàâüå - Ñòîêñà. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ
êîìïîíåíò ïîëÿ ñêîðîñòè
jkkjjkkjt
vPvvv
21
)( +--=
-
nr , (7.3)
à ñêîðîñòü ïðåäñòàâèì â âèäå ðÿäà Ôóðüå
å
=
k
rki
jj
e)k(v)r(v
r
r
r
r
)
. (7.4)
Ïîäñòàâèì (7.4) â (7.3)
å
å
å
å
å
---=
-
p
j
rpi
p
j
p q
rqi
jk
rpi
k
p
rpi
jt
)p(vpe)p(P)ip(e)q(v)iq(e)p(ve)p(v
r
r
r
rr r
r
r
r
r
r
r
r
r
)
r
)
r
)
r
)
r
)
21
nr
110



íûõ â ñîîòâåòñòâóþ ù åé îáëàñòè âîëíîâîãî ïðîñòðàíñòâà (ðèñ.7.1). Âåëè÷è-
íó Un íàçûâàþ ò èíîãäà êîëëåêòèâíîé ïåðåìåííîé äëÿ âñåõ ïóëüñàöèé, ëå-
æàù èõ â âûäåëåííîì äèàïàçîíå âîëíîâûõ ÷èñåë.
      Äëÿ ïåðåìåííûõ Un òðåáóåòñÿ íàïèñàòü óðàâíåíèÿ, êîòîðûå áóäóò
ìîäåëèðîâàòü «áàçîâûå ñâîéñòâà» óðàâíåíèé äâèæåíèÿ æèäêîñòè (êàê ïðà-
âèëî, ðå÷ü èäåò îá óðàâíåíèÿõ Í àâüå- Ñòîêñà äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè).
Ï îä «áàçîâûìè» ñâîéñòâàìè ïîíèìàåòñÿ, êàê ìèíèìóì, âûïîëíåíèå çàêî-
íîâ ñîõðàíåíèÿ è êâàäðàòè÷íàÿ íåëèíåéíîñòü óðàâíåíèé. Îáù èé âèä êàñ-
êàäíûõ óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

                                dtUn = å TnmlUmUl - KnUn + fn .                                                               (7.2)

Êîíêðåòíûå ìîäåëè îòëè÷àþòñÿ, â îñíîâíîì, âèäîì ìàòðèöû íåëèíåéíûõ
âçàèìîäåéñòâèé Tnml . Ï àðàìåòð q , îïðåäåëÿþ ù èé ø èðèíó îòäåëüíîé çîíû,
êàê ïðàâèëî, âûáèðàþò ðàâíûì äâóì, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ ïðî-
ñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû. Äèññèïàòèâíîå ñëàãàåìîå çàïè-
ñûâàåòñÿ â âèäå KnUn = kn 2Un , ïîâòîðÿþ ù åì âèä äèññèïàòèâíîãî ÷ëåíà
óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå, à ïåðåìåííàÿ fn îïèñûâà-
åòäåéñòâèå âíåø íèõ ñèë âçàäàííîé îêòàâå âîëíîâûõ ÷èñåë.




7.2. Ì îäåëü Í îâèêîâà - Äåñíÿíñêîãî
      Êàñêàäíûå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè ìîäåëÿìè òóðáóëåíòíî-
ñòè, òàê êàê îïèñûâàþ ò ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó. Ï îêàæåì,
êàê ïîëó÷èòü ïðîñòóþ êàñêàäíóþ ìîäåëü ñ ïîìîù üþ ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèÿ
óðàâíåíèé Í àâüå - Ñòîêñà. Äëÿ ýòîãî çàïèø åì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ
êîìïîíåíò ïîëÿ ñêîðîñòè

                                ¶t v j = - (v k ¶k )v j - r - 1¶ j P + n¶kk
                                                                         2
                                                                            vj ,                                              (7.3)

à ñêîðîñòü ïðåäñòàâèì â âèäå ðÿäà Ô óðüå
                                                           ) r rr
                                            v j ( r ) = år v j ( k )e ik r .                                                  (7.4)
                                                           k

      Ï îäñòàâèì (7.4) â (7.3)
           ) r rr                       ) r                     ) r rr                           ) r rr                ) r
      ¶t å v j ( p )e ipr = -   å å v ( p )e
                                                    rr
                                        k
                                                   ipr
                                                         ( iqk )v j ( q )e iqr - r - 1 å ( ip j )P( p )e ipr - n å p 2 v j ( p )
          r                     r   r                                                r                           r
          p                     p   q                                                p                           p

Страницы