Элементы математической логики. Фролов И.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

§1. Логика высказываний
1. Логические связки
В логике высказываний нас интересуют утвердительные предло-
жения, которые могут быть истинными или ложными, но не теми и
другими одновременно. Каждое такое утвердительное предложение на-
зывается высказыванием. Примеры высказываний: «Волга впадает в
Каспийское море», «Все киты суть рыбы», «5 — нечетное число».
Высказывания будем обозначать буквами A, B, C, . . . , например,
A : «15 делится на 3», B : «во всяком треугольнике все углы — острые».
Буквы, использующиеся для обозначения высказываний, называ-
ются логическими атомами. При фиксированном множестве атомов
A = {A, B, C, . . .} интерпретацией называется функция I, отобража-
ющая это множество в множество истинностных (логических) значе-
ний T = {истина, ложь}, I : A → T .
Иными словами, интерпретация — это приписывание каждому атому истин-
ностного значения — истина или ложь. Если атом обозначает некоторое конкретное
высказывание, например, C : 2 × 2 = 4, D : 3 < 2, то существует естественная
интерпретация этих атомов: I(C) = , I(D) = .
Истинностные значения истина, ложь сокращенно обозначаются
И, Л, или T, F, или 1, 0.
Из высказываний можно составлять новые, более сложные вы-
сказывания, используя логические связки, или логические операции. К
числу логических связок относятся следующие.
Отрицание. ¬A : «не-A», «неверно, что A». Если A интерпрети-
ровано, то ¬A также получит истинностное значение с помощью сле-
дующей таблицы истинности (таблицы значений):
A ¬A
0 1
1 0
Итак, ¬A ложно, если A истинно, и ¬A истинно, если A ложно.
Конъюнкция. A ∧ B : «A и B». Смысл этой связки очевиден:
высказывание A ∧ B истинно, если A и B одновременно истинны.
Дизъюнкция. A ∨ B : «A или B». (Лат. «Vel»— соединительное
«или» в отличие от «aut»— разделительного «или»). В русском языке
слово «или» используется в двух значениях: соединительном и разде-
лительном. В математической логике эти значения следует строго раз-
личать. Высказывание A ∨B истинно, если A истинно, или B истинно,
или и A, и B истинны одновременно.
7

Страницы