Элементы математической логики. Фролов И.С. - 7 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

(IV в. до н.э.), кто-либо скажет: «Предложение, которое я сейчас про-

изношу, ложно». Из истинности этой фразы следует, что она ложна,

а из ложности — что она не ложна, т.е. истинна. Это и есть парадокс

лжеца.

Парадокс Рассела. Назовем множество особым, если оно яв-

ляется своим собственным элементом (например, множество всех мно-

жеств). Пусть R — множество всех неособых множеств. Если R — осо-

бое множество, то R ∈ R по определению особого множества и R 6∈ R по

определению R. Если R — неособое множество, то опять R ∈ R, но на

этот раз по определению R, и R 6∈ R, т.к. R не является особым. Любое

из предположений: «R – особое множество», «R – неособое множество»

ведет к противоречию.

Парадокс Греллинга. Некоторые прилагательные русского

(или английского) языка обозначают свойство, которым они сами об-

ладают, например, «абстрактный», «многосложный», «русский». Назо-

вем их автологичными, а все остальные — гетерологичными (например,

«французский», «односложный», «зеленый»). Тогда, если прилагатель-

ное «гетерологичный» гетерологично, то оно автологично, и наоборот.

Тщательный анализ логических парадоксов, а также способов об-

разования математических понятий и методов математических рассуж-

дений, предпринятый математиками в XX в., привел к появлению ветви

математической логики, близкой к философии, — основания матема-

тики.

В настоящее время математическая логика имеет трудно оцени-

мое прикладное значение, проявившееся в связи с компьютеризацией

и ростом уровня технологии. На это указывают новые ее разделы —

теория алгоритмов и математическая лингвистика.