Лекции по теории информации. Фурсов В.А. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

109
Лекция 13
Матричные представления в теории кодирования
13.1 Групповой код как подпространство линейного
пространства
Линейным (векторным) пространством
V
над полем
называют множе-
ство элементов (векторов), для которого выполняются аксиомы:
1) множество
V
является коммутативной группой по сложению;
2) для любого
V
v
и скаляра
c
определено
v
(замкнутость);
3) для любых
v
,
x
из
V
и
,
из
v v v
,
v x v x
(дистрибутивность);
4) если
v
– вектор из
V
, а
,
– скаляры, то

v v
(ассоциатив-
ность к умножению на скаляр) и
1
v v
.
Множество
n
-разрядных двоичных комбинаций помехоустойчивого кода
можно рассматривать как векторное линейное пространство над полем
2

с
операцией сложения по модулю 2, а кодовые комбинации – как его векторы.
Действительно, если определить операцию умножения последовательности из
n
элементов поля
2

(кодовой комбинации) на элемент
i
a
поля
2

аналогично правилу умножения вектора на скаляр:
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
i n i i i n
a a a a a a a a a a
,
то все указанные выше аксиомы выполняются.
Подмножество элементов векторного пространства, удовлетворяющее ак-
сиомам векторного пространства, называют подпространством. По-видимому,
множество векторов, соответствующих разрешенным комбинациям, образует
подпространство векторного пространства всех
n
-разрядных кодовых комби-
наций над полем
2

.
Заметим, что такое подпространство комбинаций над полем
2

, вооб-
ще говоря, образует любая совокупность двоичных кодовых комбинаций, яв-

Страницы