Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 5 стр.

                                         ГЛАВА I

                     ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
                    РЕШЕНИЯ СЛАБОСИНГУЛЯРНЫХ
                  ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ I-РОДА


    Данная глава посвящена полиномиальным приближенным ме-
тодам решения слабосингулярных интегральных уравнений (кратко:
слабо с.и.у.) вида
                  Z2π       ¯      ¯             Z2π
           1                ¯ s − σ¯           1
        −               ln ¯¯sin   ¯ x(σ)dσ +        h(s, σ)x(σ)dσ = y(s),            (0.1)
          2π                     2 ¯          2π
                  0                                       0

       Z+1                                Z+1
 1                 1     ϕ(τ )        1                   ϕ(τ )
             ln         √        dτ +           g(t, τ ) √        dτ = f (t), |t| 6 1, (0.2)
 π              |t − τ | 1 − τ 2      π                    1 − τ2
     −1                                   −1

                  Z2π ¯       ¯             Z2π
              1       ¯ s − σ ¯γ          1
                      ¯ctg    ¯ x(σ)dσ +        h(s, σ)x(σ)dσ = y(s)                  (0.3)
             2π       ¯    2 ¯           2π
                  0                                   0
и некоторых их обобщений; здесь h(s, σ), y(s), g(t, τ ), f (t) – извест-
ные непрерывные функции в своих областях определения, x(s), ϕ(t)
– искомые функции, 0 < γ = const < 1, причем h, y и x являются
2π-периодическими функциями, а слабо сингулярные интегралы по-
нимаются как несобственные.1)

                          §1. Уравнения с логарифмическими
                            ядрами. Периодический случай
     1.1. Корректность и некорректность задачи. Построение
приближенных методов решения с.и.у. (0.1) (как и с.и.у. (0.2) и (0.3))
не представляет особых трудностей. Однако большие трудности пред-
ставляет теоретическое обоснование указанных методов. Это связа-
но с некорректностью задачи решения с.и.у. (0.1), что, в свою оче-
редь, связано с полной непрерывностью слабо сингулярного оператора
S : X −→ X,
   В каждой из глав принята автономная двойная нумерация теорем, лемм, фор-
  1)

мул и т. п.; напр., формула (2.3) и теорема 1.4 гл. I (соответственно гл. II) означают
формулу 3 § 2 и теорему 4 § 1 соответствующей главы.



                                                  4