Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Sx ≡ −
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s − σ
2
¯
¯
¯
¯
x(σ) dσ, x ∈ X, (1.1)
и вытекающей отсюда полной непрерывностью оператора
A : X −→ X,
Ax ≡ Sx + Rx, Rx ≡
1
2π
2π
Z
0
h(s, σ)x(σ) dσ, (1.2)
в известных функциональных пространствах X.
Пусть ниже L
p
= L
p
[0, 2π], C
2π
=
e
C, H
β
= H
β
[0, 2π] – про-
странства соответственно суммируемых со степенью p (1 6 p < ∞),
непрерывных и удовлетворяющих условию Г¨eльдера (H
β
≡ H
β
) с по-
казателем β (0 < β 6 1) 2π–периодических функций с нормами
kxk
L
p
=
1
2π
2π
Z
0
|x(s)|
p
ds
1
p
≡ kxk
p
, x ∈ L
p
;
kxk
C
2π
= max
s
|x(s)| ≡ kxk
∞
= kxk
e
C
, x ∈ C
2π
;
kxk
H
β
= kxk
∞
+ H(x; β) ≡ kxk
β
, x ∈ H
β
≡ H
β
,
где
H(x; β) = sup{|x(s
0
) − x(s
00
)| · |s
0
− s
00
|
−β
: s
0
6= s
00
}.
Лемма 1.1. Пусть X – любое из пространств: L
p
(1 6 p < ∞),
C
2π
, H
β
(0 < β 6 1). Тогда оператор S : X −→ X вполне непрерывен.
Следствие. Пусть в случае X = H
β
функция h(s, σ) по пе-
ременной s дополнительно удовлетворяет условиям: h(s, σ) ∈ H
α
(0 < β < α 6 1) при β < 1 и h
0
s
(s, σ) ∈ H
δ
(δ > 0) при β = 1 равномер-
но относительно σ. Тогда в условиях леммы оператор A : X −→ X
вполне непрерывен, а обратный оператор A
−1
: X −→ X, в случае
его существования, неограничен.
Доказательство леммы проводится с учетом соотношения
g(σ) ≡ −ln
¯
¯
¯
sin
σ
2
¯
¯
¯
= O
¡
|σ|
−ε
¢
, σ → 0 (1.3)
(здесь ε – любое сколь угодно малое положительное число), и при
X = C
2π
и X = L
p
(1 6 p < ∞) оно ничем не отличается от до-
казательства теоремы 1 (и ее следствия 2) работы [38].
5
                          Z2π         ¯      ¯
                     1                ¯ s − σ¯
             Sx ≡ −               ln ¯¯sin   ¯ x(σ) dσ,        x ∈ X,           (1.1)
                    2π                     2 ¯
                          0
и вытекающей          отсюда           полной        непрерывностью оператора
A : X −→ X,
                                                 Z2π
                                             1
              Ax ≡ Sx + Rx,            Rx ≡            h(s, σ)x(σ) dσ,          (1.2)
                                            2π
                                                 0

в известных функциональных пространствах X.
     Пусть ниже Lp = Lp [0, 2π], C2π = C, e H β = H β [0, 2π] – про-
странства соответственно суммируемых со степенью p (1 6 p < ∞),
непрерывных и удовлетворяющих условию Гëльдера (H β ≡ Hβ ) с по-
казателем β (0 < β 6 1) 2π–периодических функций с нормами
                                     p1
                       Z2π
                     1
          kxkLp =         |x(s)|p ds ≡ kxkp ,  x ∈ Lp ;
                    2π
                              0

            kxkC2π = max |x(s)| ≡ kxk∞ = kxkCe ,              x ∈ C2π ;
                          s

           kxkH β = kxk∞ + H(x; β) ≡ kxkβ ,              x ∈ H β ≡ Hβ ,
где
         H(x; β) = sup{|x(s0 ) − x(s00 )| · |s0 − s00 |−β :      s0 6= s00 }.

      Лемма 1.1. Пусть X – любое из пространств: Lp (1 6 p < ∞),
C2π , H β (0 < β 6 1). Тогда оператор S : X −→ X вполне непрерывен.
      Следствие. Пусть в случае X = H β функция h(s, σ) по пе-
ременной s дополнительно удовлетворяет условиям: h(s, σ) ∈ H α
(0 < β < α 6 1) при β < 1 и h0s (s, σ) ∈ H δ (δ > 0) при β = 1 равномер-
но относительно σ. Тогда в условиях леммы оператор A : X −→ X
вполне непрерывен, а обратный оператор A−1 : X −→ X, в случае
его существования, неограничен.
      Доказательство леммы проводится с учетом соотношения
                         ¯ σ¯      ¡     ¢
                         ¯     ¯
             g(σ) ≡ − ln ¯sin ¯ = O |σ|−ε ,  σ→0           (1.3)
                             2
(здесь ε – любое сколь угодно малое положительное число), и при
X = C2π и X = Lp (1 6 p < ∞) оно ничем не отличается от до-
казательства теоремы 1 (и ее следствия 2) работы [38].

                                          5

Страницы