Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

странства 2π–периодических функций
X
(r)
= {ϕ(s) ∈ X : ∃ϕ
(r)
(s) ∈ X} ≡ X
r
, r + 1 ∈ N, X
(◦)
≡ X,
с нормой
kϕk
X
r
=
r
X
i=0
kϕ
(i)
(s)k
X
, ϕ
(◦)
(s) ≡ ϕ(s).
В случае X = L
p
(1 6 p < ∞) будем пользоваться стандартным
обозначением X
r
≡ W
r
p
, а также kϕk
W
r
p
= kϕk
r;p
(ϕ ∈ W
r
p
).
В пространстве L
p
рассмотрим оператор Гильберта
Iϕ = I(ϕ; s) =
1
2π
Z
2π
0
ctg
σ − s
2
ϕ(σ) dσ, ϕ ∈ L
p
, 1 < p < ∞, (1.4)
где сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по
Коши – Лебегу [45, 61, 66]. Ниже всюду через
c
k
(ϕ) =
1
2π
Z
2π
0
ϕ(σ)e
−ikσ
dσ, ϕ ∈ L
1
, k = 0, ±1, . . .
будем обозначать комплексные коэффициенты Фурье функции
ϕ ∈ L
1
≡ L. Кроме того, регулярные ядра и правые части с.и.у. (0.1)
– (0.3) без ограничения общности будем считать вещественными
1)
.
Лемма 1.2. Пусть X = L
p
(1 < p < ∞) или H
β
(0 < β < 1),
а Y = X
1
. Тогда оператор S : X −→ Y непрерывно обратим и
обратный оператор S
−1
: Y −→ X определяется по любой из формул
S
−1
(y; s) = −2 I(y
0
; s) +
1
2π ln 2
Z
2π
0
y(s) ds, y ∈ Y, (1.5)
S
−
1
(y; s) =
c
0
(y)
ln 2
+ 2 i
∞
X
k=−∞
|k|c
k
(y) e
iks
=
=
c
0
(y)
ln 2
− 2 i
∞
X
k=−∞
sgn k · c
k
(y
0
)e
iks
, y ∈ Y (1.6)
где sgn a = {+1 при a > 0; 0 при a = 0; −1 при a < 0}.
Следствие 1. При X = L
2
, Y = W
1
2
для обратного оператора
S
−1
справедлива формула
kS
−1
k = 2, S
−1
: W
1
2
−→ L
2
. (1.7)
1)
Несмотря на это, ради упрощения выкладок мы иногда пользуемся рядами
Фурье в комплексной форме.
7
странства 2π–периодических функций
      X (r) = {ϕ(s) ∈ X : ∃ϕ(r) (s) ∈ X} ≡ X r , r + 1 ∈ N,                 X (◦) ≡ X,
с нормой
                              r
                              X
                   kϕkX r =         kϕ(i) (s)kX ,        ϕ(◦) (s) ≡ ϕ(s).
                              i=0
В случае X = Lp (1 6 p < ∞) будем пользоваться стандартным
обозначением X r ≡ Wpr , а также kϕkWpr = kϕkr;p (ϕ ∈ Wpr ).
    В пространстве Lp рассмотрим оператор Гильберта
                    Z 2π
                  1          σ−s
  Iϕ = I(ϕ; s) =         ctg     ϕ(σ) dσ, ϕ ∈ Lp , 1 < p < ∞, (1.4)
                 2π 0         2
где сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по
Коши – Лебегу [45, 61, 66]. Ниже всюду через
                     Z 2π
                   1
         ck (ϕ) =         ϕ(σ)e−ikσ dσ, ϕ ∈ L1 , k = 0, ±1, . . .
                  2π 0
будем обозначать комплексные коэффициенты Фурье функции
ϕ ∈ L1 ≡ L. Кроме того, регулярные ядра и правые части с.и.у. (0.1)
– (0.3) без ограничения общности будем считать вещественными 1) .
    Лемма 1.2. Пусть X = Lp (1 < p < ∞) или H β (0 < β < 1),
а Y = X 1 . Тогда оператор S : X −→ Y непрерывно обратим и
обратный оператор S −1 : Y −→ X определяется по любой из формул
                                       Z 2π
         −1               0       1
       S (y; s) = −2 I(y ; s) +             y(s) ds, y ∈ Y, (1.5)
                                2π ln 2 0
                                          ∞
                                          X
                    −1        c0 (y)
                   S (y; s) =        + 2i   |k| ck (y) eiks =
                               ln 2
                                                  k=−∞
                                    ∞
                                    X
                   c0 (y)
               =          − 2i           sgn k · ck (y 0 )eiks ,    y∈Y              (1.6)
                    ln 2
                                 k=−∞

где sgn a = {+1 при a > 0; 0 при a = 0; −1 при a < 0}.
     Следствие 1. При X = L2 , Y = W21 для обратного оператора
S −1 справедлива формула
                         kS −1 k = 2,        S −1 : W21 −→ L2 .                      (1.7)
 1)Несмотря на это, ради упрощения выкладок мы иногда пользуемся рядами
Фурье в комплексной форме.


                                              7

Страницы