Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Легко показать, что в условиях леммы только что построенная функ-
ция x
∗
(s) является единственным решением уравнения Sx = y (x ∈
X, y ∈ Y ).
Далее, разлагая y
0
(s) ∈ L
2
в ряд Фурье
y
0
(s) =
∞
X
|k|=1
c
k
(y
0
)e
iks
, c
k
(y
0
) =
1
2π
2π
Z
0
y
0
(s)e
−iks
ds, y ∈ Y, (1.13)
и пользуясь известными формулами
I(cos kσ; s) = −sin ks, k+1 ∈ N; I(sin kσ; s) = cos ks, k ∈ N, (1.14)
имеем
I(y
0
; s) = i
∞
X
k=−∞
sgn k ·c
k
(y
0
)e
iks
= −
∞
X
k=−∞
|k|c
k
(y) e
iks
. (1.15)
Тогда, как легко видеть, из (1.6) и (1.15) следует представление (1.5).
В свою очередь, с учетом (1.10) и (1.15) из (1.5) следует представление
(1.6). Другими словами, представления (1.5) и (1.6) являются эквива-
лентными, что, очевидно, естественно.
Из (1.6), (1.13) с учетом равенства Парсеваля находим
kS
−1
yk
2
2
= |c
0
(y)|
2
/ ln
2
2 + 4
∞
X
|k|=1
|c
k
(y
0
)|
2
6
6 kyk
2
2
/ ln
2
2 + 4ky
0
k
2
2
6 4kyk
2
1;2
, y ∈ W
1
2
.
Отсюда (равно как и из (1.5)) следует неравенство kS
−1
k 6 2,
S
−1
: W
1
2
−→ L
2
. Обычным способом легко доказывается также обрат-
ное неравенство.
Лемма 1.2 и ее следствие 1 доказаны, а тогда следствие 2 стано-
вится очевидным в силу известных результатов (см., напр., [55]) для
операторных уравнений, приводящихся к уравнениям II рода в B –
пространствах.
Добавление к лемме 1.2. Операторы S : C
2π
−→ C
1
2π
и S
−1
: C
1
2π
−→ C
2π
неограничены, где C
1
2π
– пространство непре-
рывно дифференцируемых 2π-периодических функций с обычной нор-
мой
kxk = kxk
∞
+ kx
0
k
∞
.
Это утверждение следует из леммы 1.2 и известного результата
Н.Н.Лузина о сопряженных функциях (см., напр., в [4]).
9
Легко показать, что в условиях леммы только что построенная функ-
ция x∗ (s) является единственным решением уравнения Sx = y (x ∈
X, y ∈ Y ).
     Далее, разлагая y 0 (s) ∈ L2 в ряд Фурье
                ∞
                X                                          Z2π
                                                     1
    y 0 (s) =           ck (y 0 )eiks , ck (y 0 ) =              y 0 (s)e−iks ds, y ∈ Y,       (1.13)
                                                    2π
                |k|=1                                      0

и пользуясь известными формулами
 I(cos kσ; s) = − sin ks, k +1 ∈ N;                      I(sin kσ; s) = cos ks, k ∈ N, (1.14)
имеем
                        ∞
                        X                                          ∞
                                                                   X
        0                                        0   iks
     I(y ; s) = i              sgn k · ck (y )e            =−              |k| ck (y) eiks .   (1.15)
                    k=−∞                                          k=−∞

Тогда, как легко видеть, из (1.6) и (1.15) следует представление (1.5).
В свою очередь, с учетом (1.10) и (1.15) из (1.5) следует представление
(1.6). Другими словами, представления (1.5) и (1.6) являются эквива-
лентными, что, очевидно, естественно.
     Из (1.6), (1.13) с учетом равенства Парсеваля находим
                                                                   ∞
                                                                   X
                        −1     2             2       2
                  kS yk2 = |c0 (y)| / ln 2 + 4                            |ck (y 0 )|2 6
                                                                  |k|=1

                  6 kyk22 / ln2 2 + 4ky 0 k22 6 4kyk21;2 ,                  y ∈ W21 .
Отсюда (равно как и из (1.5)) следует неравенство kS −1 k 6 2,
S −1 : W21 −→ L2 . Обычным способом легко доказывается также обрат-
ное неравенство.
      Лемма 1.2 и ее следствие 1 доказаны, а тогда следствие 2 стано-
вится очевидным в силу известных результатов (см., напр., [55]) для
операторных уравнений, приводящихся к уравнениям II рода в B –
пространствах.
                                                              1
    Добавление к лемме 1.2. Операторы S : C2π −→ C2π
и S −1 : C2π
          1                             1
             −→ C2π неограничены, где C2π  – пространство непре-
рывно дифференцируемых 2π-периодических функций с обычной нор-
мой
                     kxk = kxk∞ + kx0 k∞ .

    Это утверждение следует из леммы 1.2 и известного результата
Н.Н.Лузина о сопряженных функциях (см., напр., в [4]).

                                                     9

Страницы