Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 1.3. Оператор S : L
2
−→ L
2
симметричен и положи-
телен, а его собственные значения λ
k
(k = 0, ±1, ···) и соответству-
ющие собственные функции ϕ
k
(s) определяются по формулам
λ
k
= c
k
(g) = {ln 2, k = 0;
1
2|k|
, k = ±1, ±2, . . .}, ϕ
k
(s) = e
iks
. (1.16)
Следствие. kSk = ln 2, S : L
2
−→ L
2
, и однородное уравнение
Sx = 0 имеет в L
2
лишь тривиальное решение x
∗
= 0.
Доказательство. Симметричность оператора S очевидна, до-
кажем его положительность. С помощью (1.10) – (1.12) для любого
x ∈ L
2
(x 6= 0) находим
(Sx, x)
2
=
Ã
∞
X
k=−∞
c
k
(x)c
k
(g)e
iks
,
∞
X
j=−∞
c
j
(x)e
ijs
!
L
2
=
=
∞
X
k=−∞
|c
k
(x)|
2
c
k
(g) = |c
0
(x)|
2
ln 2 +
∞
X
k=1
|c
k
(x)|
2
k
> 0, (1.17)
где (ϕ, φ)
2
– скалярное произведение функций ϕ, φ ∈ L
2
, причем
(1, 1)
2
≡ 1. Ясно, что из (1.17) следует [62] положительность оператора
S : L
2
−→ L
2
. В силу сказанного выше, формула (1.16) становится
очевидной. Тогда первое утверждение следствия выводится из (1.16),
а второе – из (1.17).
Далее, с.и.у. (0.1) запишем в операторном виде
Ax ≡ Sx + Rx = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (1.18)
где X = L
p
(1 < p < ∞) или H
β
(0 < β < 1), а Y = X
1
. Тогда в
силу леммы 1.2 это уравнение эквивалентно любому из интегральных
уравнений II-рода
x + S
−1
Rx = S
−1
y (x, S
−1
y ∈ X), (1.18
0
)
ϕ + RS
−1
ϕ = y (ϕ = Sx, y ∈ Y ), (1.18
00
)
рассматриваемых соответственно в пространствах X и Y . Другими
словами, при соответствующих условиях с.и.у. (0.1) становится, как
уже отмечалось, уравнением, приводящимся к уравнениям Фредголь-
ма II-рода, где при некоторых естественных условиях на регулярное
ядро h(s, σ) операторы S
−1
R : X −→ X и RS
−1
: Y −→ Y являются
вполне непрерывными в пространствах X и Y = X
1
соответственно.
Указанная процедура регуляризации с.и.у. (0.1), т.е. приведение
его к эквивалентным уравнениям (1.18
0
) и (1.18
00
), может быть поло-
жена в основу построения численных методов его решения (см., напр.,
10
    Лемма 1.3. Оператор S : L2 −→ L2 симметричен и положи-
телен, а его собственные значения λk (k = 0, ±1, · · ·) и соответству-
ющие собственные функции ϕk (s) определяются по формулам
                              1
 λk = ck (g) = {ln 2, k = 0;      , k = ±1, ±2, . . .}, ϕk (s) = eiks . (1.16)
                             2|k|
    Следствие. kSk = ln 2, S : L2 −→ L2 , и однородное уравнение
Sx = 0 имеет в L2 лишь тривиальное решение x∗ = 0.
    Доказательство. Симметричность оператора S очевидна, до-
кажем его положительность. С помощью (1.10) – (1.12) для любого
x ∈ L2 (x 6= 0) находим
                  Ã ∞                      ∞
                                                        !
                    X                      X
       (Sx, x)2 =       ck (x)ck (g)eiks ,   cj (x)eijs   =
                           k=−∞                     j=−∞            L2
         ∞
         X                                          ∞
                                                    X
                       2                2             |ck (x)|2
     =          |ck (x)| ck (g) = |c0 (x)| ln 2 +                 > 0,    (1.17)
                                                           k
         k=−∞                                       k=1
где (ϕ, φ)2 – скалярное произведение функций ϕ, φ ∈ L2 , причем
(1, 1)2 ≡ 1. Ясно, что из (1.17) следует [62] положительность оператора
S : L2 −→ L2 . В силу сказанного выше, формула (1.16) становится
очевидной. Тогда первое утверждение следствия выводится из (1.16),
а второе – из (1.17).
      Далее, с.и.у. (0.1) запишем в операторном виде
                   Ax ≡ Sx + Rx = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                      (1.18)
где X = Lp (1 < p < ∞) или H β (0 < β < 1), а Y = X 1 . Тогда в
силу леммы 1.2 это уравнение эквивалентно любому из интегральных
уравнений II-рода
                     x + S −1 Rx = S −1 y (x, S −1 y ∈ X),               (1.180 )
                    ϕ + RS −1 ϕ = y          (ϕ = Sx, y ∈ Y ),           (1.1800 )
рассматриваемых соответственно в пространствах X и Y . Другими
словами, при соответствующих условиях с.и.у. (0.1) становится, как
уже отмечалось, уравнением, приводящимся к уравнениям Фредголь-
ма II-рода, где при некоторых естественных условиях на регулярное
ядро h(s, σ) операторы S −1 R : X −→ X и RS −1 : Y −→ Y являются
вполне непрерывными в пространствах X и Y = X 1 соответственно.
     Указанная процедура регуляризации с.и.у. (0.1), т.е. приведение
его к эквивалентным уравнениям (1.180 ) и (1.1800 ), может быть поло-
жена в основу построения численных методов его решения (см., напр.,

                                        10

Страницы