Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 2. Пусть ядро h(s, σ) таково, что оператор
R : X −→ Y вполне непрерывен. Если однородное уравнение, соот-
ветствующее с.и.у. (0.1), имеет только нулевое решение, то опера-
тор A ≡ S + R : X −→ Y непрерывно обратим.
Доказательство. Формулы (1.5) и (1.6) по существу известны
(см., напр., [45, 77]), поэтому их доказательства приводятся лишь ради
полноты изложения. Рассмотрим уравнение Sx = y (x ∈ X, y ∈ Y ),
где оператор S определен в (1.1). Дифференцируя и интегрируя его,
получим уравнения
I(x; s) = 2 y
0
(s) (x ∈ X, y ∈ Y ), (1.8)
ln 2 ·
2π
Z
0
x(s) ds =
2π
Z
0
y(s) ds (x ∈ X, y ∈ Y ). (1.9)
Известно [45, 66], что уравнение (1.8) разрешимо и его общее решение
имеет вид x(s) = −2 I(y
0
; s)+const. Отсюда, определяя const с помо-
щью (1.9), получаем представление (1.5).
Докажем представление (1.6). В условиях леммы функции x ∈ X
и y ∈ Y можно разложить в ряды Фурье
x(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(x)e
iks
, y(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(y)e
iks
. (1.10)
Тогда в силу (1.1) и (1.3) имеем
Sx = −
1
2π
2π
Z
0
ln
¯
¯
¯
sin
σ
2
¯
¯
¯
x(s − σ) dσ =
∞
X
k=−∞
c
k
(x)c
k
(g)e
iks
. (1.11)
Отсюда, с учетом линейной независимости системы функций {e
ijs
},
находим c
k
(x) = c
k
(y)/c
k
(g) ≡ c
k
(x
∗
), где,
c
k
(g) = {ln 2 при k = 0;
1
2|k|
при k 6= 0}, g(σ) = −ln
¯
¯
¯
sin
σ
2
¯
¯
¯
. (1.12)
Тогда
x
∗
(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(x
∗
)e
iks
=
∞
X
k=−∞
c
k
(y)
c
k
(g)
e
iks
=
=
c
0
(y)
ln 2
− 2 i
∞
X
|k|=1
sgn k · c
k
(y
0
)e
iks
≡ S
−1
y.
8
    Следствие 2. Пусть ядро h(s, σ) таково, что оператор
R : X −→ Y вполне непрерывен. Если однородное уравнение, соот-
ветствующее с.и.у. (0.1), имеет только нулевое решение, то опера-
тор A ≡ S + R : X −→ Y непрерывно обратим.
      Доказательство. Формулы (1.5) и (1.6) по существу известны
(см., напр., [45, 77]), поэтому их доказательства приводятся лишь ради
полноты изложения. Рассмотрим уравнение Sx = y (x ∈ X, y ∈ Y ),
где оператор S определен в (1.1). Дифференцируя и интегрируя его,
получим уравнения
                     I(x; s) = 2 y 0 (s)              (x ∈ X,    y ∈ Y ),             (1.8)
                     Z2π               Z2π
            ln 2 ·         x(s) ds =         y(s) ds (x ∈ X,            y ∈ Y ).      (1.9)
                     0                 0
Известно [45, 66], что уравнение (1.8) разрешимо и его общее решение
имеет вид x(s) = −2 I(y 0 ; s)+const. Отсюда, определяя const с помо-
щью (1.9), получаем представление (1.5).
     Докажем представление (1.6). В условиях леммы функции x ∈ X
и y ∈ Y можно разложить в ряды Фурье
                           ∞
                           X                                    ∞
                                                                X
                                            iks
             x(s) =               ck (x)e ,           y(s) =          ck (y)eiks .   (1.10)
                           k=−∞                                k=−∞

Тогда в силу (1.1) и (1.3) имеем
                Z2π      ¯ σ¯                 ∞
                                              X
            1            ¯     ¯
    Sx = −            ln ¯sin ¯ x(s − σ) dσ =   ck (x)ck (g)eiks .                   (1.11)
           2π                2
                0                                         k=−∞

Отсюда, с учетом линейной независимости системы функций {eijs },
находим ck (x) = ck (y)/ck (g) ≡ ck (x∗ ), где,
                              1                            ¯ σ¯
                                                           ¯     ¯
 ck (g) = {ln 2 при k = 0;        при k 6= 0}, g(σ) = − ln ¯sin ¯ . (1.12)
                             2|k|                              2
Тогда
                              ∞
                              X                           ∞
                                                          X
                ∗                           ∗     iks       ck (y) iks
               x (s) =              ck (x )e            =          e =
                                                            ck (g)
                             k=−∞                        k=−∞
                             X       ∞
                 c0 (y)
               =        − 2i   sgn k · ck (y 0 )eiks ≡ S −1 y.
                  ln 2
                                    |k|=1



                                                  8

Страницы