Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 7 стр.

      Пусть X = H β . Тогда в силу известной теоремы И.И.Привалова
[4, 66] для любой функции x(s) ∈ H β функция ψ(s) = S(x; s) удовле-
творяет условиям: ψ 0 (s) ∈ H β при 0 < β < 1 и ψ 0 (s) ∈ Z при β = 1;
здесь Z = Z[0, 2π] означает класс непрерывных 2π–периодических
функций, удовлетворяющих условию Зигмунда, т.е. ω2 (ϕ; δ) = O (δ),
0 < δ 6 π, где ω2 (ϕ; δ) – второй модуль непрерывности (модуль глад-
кости) функции ϕ(s) ∈ C2π . Из последнего неравенства следует, как
известно, оценка ω(ψ 0 ; δ) = O{δ(1 + | ln δ|)}, где ω(ϕ; δ) = ω(ϕ; δ)∞ =
= ω(ϕ; δ)C – обычный модуль непрерывности функции ϕ ∈ C2π . Тогда
для завершения доказательства леммы остается воспользоваться кри-
терием компактности в пространстве гëльдеровых функций. В силу
сказанного утверждение следствия становится очевидным.
      Заметим, что утверждение, аналогичное лемме, имеет место так-
же при другом способе выбора функциональных пространств X. По-
этому, если мы хотим решать с.и.у. (0.1) в пространстве X, считая
A : X −→ X, то должны использовать теорию некорректно постав-
ленных задач (см., напр., [53, 58, 65, 76]) для операторных уравнений
I-рода, в частности, хорошо развитые методы регуляризации и квази-
решений, со всеми вытекающими отсюда трудностями.
      Однако для с.и.у. (0.1)–(0.3) и им подобных существует также
другой подход, основанный на соответствующем выборе пространств
правых частей (обозначим его Y ) и искомых элементов X. Другими
словами, теперь операторы S и A будем рассматривать как операторы
из X в Y , где X 6= Y . Тогда при подходящем выборе пространства
X(Y ) в зависимости от данного пространства Y (X) ( или же наобо-
рот) и условий решаемой задачи с.и.у. (0.1) – (0.3) становятся урав-
нениями, приводящимися к уравнениям II-рода (здесь мы пользуемся
терминологией [55]), а тогда задача решения с.и.у. (0.1) – (0.3) будет
поставлена корректно.
      Следует отметить, что лемма 1.1 допускает различные обобщения;
здесь приведем (без доказательства) лишь следующее
    Добавление к лемме 1.1. а) Оператор S : C2π −→ H β вполне
непрерывен при любых β ∈ (0, 1), а при β = 1 неограничен; б) опе-
                 H β , где p ∈ (1, ∞) дано, вполне непрерывен при
ратор S : ³Lp −→ ´
                   1
любых β ∈ 0, 1 −   p   ; в) оператор S : Lp −→ H β , где β ∈ (0, 1) дано,
                                     1
вполне непрерывен при любых p ∈ (1, 1−β ).
    С учетом сказанного и исходя из пространства X, введем про-


                                    6