Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ε → 0 сходится к x
∗
(s) со скоростью
kx
∗
− x
∗
ε
k
X
= O (ε).
Доказательство почти очевидно. Действительно, из условий
леммы следует, что
kA − A
ε
k
X→Y
= O (ε), ky − y
ε
k
Y
< ε.
Отсюда и из известной теоремы функционального анализа об обрати-
мости операторов, близких к обратимому оператору (см., напр., [55]),
в силу леммы 1.2 получаем требуемое утверждение.
С учетом сказанного выше всюду в дальнейшем, если нет других
условий, будем считать, что
y(s) ∈ W
1
2
, h(s, σ) ∈ C
2π
⊗ L
2
,
d
ds
R(x; s) ∈ L
2
(x ∈ L
2
), (1.20)
где ϕ(s, σ) ∈ C
2π
⊗L
2
означает, что ϕ(s, σ) ∈ C
2π
по s почти для всех
σ и ϕ(s, σ) ∈ L
2
[0, 2π] по σ равномерно относительно s.
1.2. Общий прямой и проекционный методы. Приближен-
ное решение с.и.у. (0.1) будем искать в виде тригонометрического по-
линома
x
n
(s) =
n
X
k=−n
α
k
e
iks
, α
k
= α
−k
, n ∈ N, (1.21)
коэффициенты которого определим исходя из минимальности невязки
1)
r
n
≡ y − Ax
n
≡ Φ(s; {α
k
}
n
−n
) = r
n
(s) (1.22)
в том или ином смысле. В зависимости от смысла минимизации бу-
дем получать тот или иной проекционный метод решения с.и.у. (0.1).
Например, если коэффициенты {α
k
} определяются из условия
kΦ(s; {α
k
}
n
−n
)k
U
=⇒ min, U = X или Y, (1.23)
то будем иметь метод наименьших квадратов. Если
2π
Z
0
Φ(s; {α
k
}
n
−n
)e
−ijs
ds = 0, j = −n, n, (1.24)
то получим метод Галеркина (редукции) по тригонометрической си-
стеме функций. Если
Φ(s
j
; {α
k
}
n
−n
) = 0, j = 0, 2n, (1.25)
1
)
Здесь и далее α – комплексно сопряженная с α величина.
12
ε → 0 сходится к x∗ (s) со скоростью
                                        kx∗ − x∗ε kX = O (ε).
    Доказательство почти очевидно. Действительно, из условий
леммы следует, что
                          kA − Aε kX→Y = O (ε),            ky − yε kY < ε.
Отсюда и из известной теоремы функционального анализа об обрати-
мости операторов, близких к обратимому оператору (см., напр., [55]),
в силу леммы 1.2 получаем требуемое утверждение.
     С учетом сказанного выше всюду в дальнейшем, если нет других
условий, будем считать, что
                                       d
          y(s) ∈ W21 ,     h(s, σ) ∈ C2π ⊗ L2 ,
                                         R(x; s) ∈ L2 (x ∈ L2 ), (1.20)
                                      ds
где ϕ(s, σ) ∈ C2π ⊗ L2 означает, что ϕ(s, σ) ∈ C2π по s почти для всех
σ и ϕ(s, σ) ∈ L2 [0, 2π] по σ равномерно относительно s.
     1.2. Общий прямой и проекционный методы. Приближен-
ное решение с.и.у. (0.1) будем искать в виде тригонометрического по-
линома                    n
                        X
              xn (s) =      αk eiks , αk = α−k , n ∈ N,       (1.21)
                                     k=−n
коэффициенты которого определим исходя из минимальности невязки
1)

                              rn ≡ y − Axn ≡ Φ(s; {αk }n−n ) = rn (s)        (1.22)
в том или ином смысле. В зависимости от смысла минимизации бу-
дем получать тот или иной проекционный метод решения с.и.у. (0.1).
Например, если коэффициенты {αk } определяются из условия
                         kΦ(s; {αk }n−n )kU =⇒ min,         U = X или Y,     (1.23)
то будем иметь метод наименьших квадратов. Если
                          Z2π
                                Φ(s; {αk }n−n )e−ijs ds = 0,   j = −n, n,    (1.24)
                          0

то получим метод Галеркина (редукции) по тригонометрической си-
стеме функций. Если
                                  Φ(sj ; {αk }n−n ) = 0,   j = 0, 2n,        (1.25)
     1)   Здесь и далее α – комплексно сопряженная с α величина.

                                                   12

Страницы