Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 14 стр.

где {sj } – некоторая система попарно неэквивалентных узлов, то по-
лучим метод коллокации (совпадения). Если же коэффициенты {αk }
определяются из условий
                  Zsj+1
                       Φ(s; {αk }n−n ) ds = 0,          j = 0, 2n,    (1.26)
                  sj

где {sj } – некоторая система узлов, то получим метод подобластей.
     Заметим, что каждое из условий (1.23) – (1.26) приводит к системе
линейных алгебраических уравнений (далее кратко: СЛАУ) порядка
N = 2n + 1. Если указанная система имеет решение {αk∗ }n−n , то за
приближенное решение с.и.у. (0.1) будем принимать полином
                                 n
                                 X
                   x∗n (s)   =          αk∗ eiks ,   αk ∗ = α−k
                                                             ∗
                                                                ,    (1.21∗ )
                                 k=−n

причем свой для каждого конкретного приближенного метода.
      К построению приближенного решения с.и.у. (0.1) – (0.3) мож-
но подойти также с других и, как нам представляется, более общих
позиций. Обьясним суть дела снова на примере с.и.у. (0.1).
      Обозначим (здесь и далее) через IHTn множество всех тригономет-
рических полиномов порядка не выше n. Через Xn ⊂ X и Yn ⊂ Y будем
обозначать множество IHTn , наделенное нормами пространств соответ-
ственно X и Y . Обозначим через Pn некоторый аддитивный и одно-
родный оператор, отображающий пространство Y в подпространство
Yn , где 2n + 1 ∈ N. Теперь приближенное решение x∗n (s) с.и.у. (0.1)
будем определять как точное решение одного из следующих оператор-
ных уравнений:
           An xn ≡ Sn xn + Rn xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn ),           (1.27)
     An xn ≡ Pn Sxn + Pn Rxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn ),           (1.28)
где операторы Sn , Rn : Xn −→ Yn и элементы yn ∈ Yn суть некоторые
аппроксимации соответственно операторов S, R : X −→ Y и правой
части y ∈ Y уравнения (1.18).
     Отметим, что каждое из уравнений (1.27), (1.28) эквивалентно
СЛАУ относительно коэффициентов полинома (1.21). Поскольку этот
полином можно представить в виде
                     2n                        n
                2 X                            X
     xn (s) =           xn (sk )Dn (s − sk ) =   ck (xn )eiks ,       (1.29)
              2n + 1
                       k=0                               k=−n

                                           13